Sensorfusion mit unterschiedlicher statistischer Fehlerrate

hallo,
es geht um Sensorfusion von Sensoren mit unterschiedlicher Fehlerrate.

Beispiel:
ich habe 3 verschiedene Sensoren, die alle z.B. eine Distanz messen (mit unterschiedlichen Messmethoden),
Sensor 1 misst z.B. mit 20% Standardabweichung (breite Glockenkurve),
Sensor 2 mit 10% Standardabweichung (engere Glockenkurve)
Sensor 3 mit 5% Standardabweichung (sehr enge Glockenkurve)
Messbereich aller Sensoren: mindestens 4-150cm

1.Fall
Sensor 1 möge nun z.B. 100 cm messen,
Sensor 2 110 cm
Sensor 3 90 cm

2.Fall:
Sensor 1 20 cm
Sensor 2 30 cm
Sensor 3 5 cm

Der vermutlich am besten verlässliche Wert wird dabei sicherlich irgendwo zwischen 90-110 bzw. 5-30 cm liegen.

Aber wie berechne ich den fusionierten Wert mit der statistisch größtmöglichen Zuverlässigkeit (größte Signifikanz) ?
D.h. welche statistische Formel ist darauf am besten anzuwenden?

hast du die 3 WDF(Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) bereits bestimmt?

folgender teil ohne Garantie:
Wenn du dann die 3 Funktionen addierst, solltest du den Erwartungswert wieder bestimmen können. (https://de.wikipedia.org/wiki/Erwart...Dichtefunktion)



und ich stelle fest das ich mal wieder das Vorlesungsskript ansehen sollte, um zu wiessen wie das nun wirklich genau war....

Für mich am wahrscheinlichsten ist:

1. Messung: 100cm, Fehler: +/-20%
2. Messung: 110cm, Fehler: +/-10%
3. Messung: 90cm, Fehler: +/-5%

Mittelwert: 100cm, Fehler: +/-11.7% (tatsächliche Entfernung: 88.3cm bis 117cm).
Sensor 3, 3.Messung, tatsächliche Entfernung: 85.5cm bis 94.5cm, weil Fehler: +/-5%.

Jetzt könnte man das eindämmen. Der untere Grenzwert ist wohl: 88.3cm. Der obere Grenzwert ist wohl: 94.5cm. Wahrscheinlichster Wert 91.4cm.

Alles auf die Gefahr hin, dass das totaler Quatsch und absolut falsch ist. :-)

Zitat:

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Zitat von Moppi

Für mich am wahrscheinlichsten ist:

1. Messung: 100cm, Fehler: +/-20%
2. Messung: 110cm, Fehler: +/-10%
3. Messung: 90cm, Fehler: +/-5%

---

hallo,

@Moppi:
nein, der Wert ist nicht +/- Fehlerbereich, sondern die Standardabweichung war genannt,
die gibt an, mit welcher Streuung ein Messwert durchschnittlich auftreten wird, es können aber auch viel weiter abweichende Werte auftreten. Tatsächlich wird sich bei 3 Sensoren mit 3 Glockenkurven das Problem eher so wie hier darstellen (allerdings noch mehr gegeneinander verschoben):
Bild hier  
(Standardabweichung 20% bedeutet 1σ = 0,2*Messwert: Die Standardabweichung ist hier eher der "durchschnittliche Messfehler" von 20%.)


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Zitat:

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Zitat von Thomas$

hast du die 3 WDF(Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) bereits bestimmt?

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@Thomas$:
WDF habe ich noch nie gehört, das sieht nach säähr schwäärer Kost aus... :-/
wenn du dein Skript mal ausgraben möchtest: kannst du das mal beispielhaft für die Fälle 1+2 vorrechnen, so quasi zur Übung... ? 8)

(von dem Wki Artkel verstehe ich leider null-komma-garnichts ;) )

vor allem: wie soll ich eine Funktion und insb. Integrale bilden für 3 Sensoren mit je 1 Messwert und mit nur jeweils 1 bekannten spezifischen Standardabweichung?

Dann würde ich Messreihen durchführen, statt einer Messung. Dann alle Werte aus der Messreihe raus nehmen, welche Ausreißer darstellen. Die übrigen Werte mitteln.

Zitat:

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Zitat von Moppi

Dann würde ich Messreihen durchführen, statt einer Messung. Dann alle Werte aus der Messreihe raus nehmen, welche Ausreißer darstellen. Die übrigen Werte mitteln.

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nein, darum geht es nicht, es geht um eine Methode zur mathematisch-statistischen Sensorfusion, die Distanzsensoren waren ja nur ein Beispiel - alternativ z.B. zu Monte-Carlo-Filter oder Kalmanfilter, oder eine Vereinfachung davon. Auch soll es zeitkritische ad-hoc-Messungen ermöglichen. Im Übrigen schwanken aber ja alle Sensorwerte, je nach Sensitivität und Spezifität und je nach stat. Streuung, je nach bekannter Standardabweichung.

Außerdem gehen z.B. bei Distanzsensoren auch verschiedene systematische Auftreff-Winkel in die Messfehler mit ein (z.B. Ultraschall auf eine schräge samtige Fläche oder IR auf Glas oder Laser auf eine schräge glänzende Fläche), die sich nicht durch häufigere Messung eliminieren ließen. Accelerometer wiederum haben so ein starkes Rauschen, dass sie sich nicht ohne weiteres z.B. durch häufigeres Messen plus doppeltes Integrieren über die Zeit in einen verlässlicheren Distanzwert umrechenen ließen, Encoder leiden unter Schlupf, Slip und Drift der Antriebsräder besonders bei Kurven oder rutschigem Untergrund, Gyros leiden oft unter nicht-gaussscher Drift, Kompasssensoren sind von lokalen Magnetstörfeldern und augenblicklicher Fahrtrichtung betroffen...

Bei einer größeren Gruppe verschiedener Sensortechnologien werden also immer einige um ihre spezifischen Mittelwerte herumschwanken, und die Messwerte aller sensoren werden mal so, mal anders gehäuft, gruppiert oder ungleich gewichtet sein, ohne direkt massive Ausreißer zu haben, und zuverlässigere Sensoren müssen anders gewichtet werden als stärker verrauschte.

Daher die TOP-Frage nach einer mathematisch-statistischen Sensorfusionsmethode nach Kenntnis der Standardabweichung, anhand des vereinfachten 3-Sensor-Beispiels.

Theoretisch betrachtet mit Funktionen der Art, wie sie auch Thomas$ erwähnt hat - das müsste allerdings mal bitte beispielhaft vorgerechnet werden... 8)

Nimmst Du 'ne Kreuzkorrelation und schiebst die drei Glockenkurven über die x-Achse, bis die Summe der Wahrscheinlichkeiten ein Maximum erreicht?!?

Mal der Verständlichkeit halber, was genau gemeint ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Sensor...dungsbeispiele
Und mal der Kalman-Filter: https://de.wikipedia.org/wiki/Kalman-Filter

Vielleicht kann man sich so etwas ja mal antun: https://www.vdi-wissensforum.de/weit.../sensorfusion/

Vielleicht sollte man das Problem mal herunterbrechen und überhaupt eine Erwartungshaltung beschreiben:

Bei einem Sensor und einer Messung hast Du einen Messwert, den Du als Ausgabewert weiter verwendest. Ggf. gibst Du die Varianz mit aus.

Die Messung mit zwei Sensoren gleicher Varianz ist wie die wiederholte Messung mit einem Sensor. Der Mittelwert als Ausgabewert verbessert sich mit Anzahl der Messungen, wenn es eine Normalverteilung ist. Nebenerkenntnis: Der Mittelwert liegt immer zwischen Minimum und Maximum der Messreihe. Die Varianz sinkt mit steigender Anzahl Messungen.

Bei der Messung mit zwei Sensoren unterschiedlicher Varianz würde man unwillkürlich annehmen, dass der genauere Sensor das bessere Ergebnis angibt. Bei einer "Mittelwertbildung" würde man die Varianzen als Gewichtung heranziehen. Der Ausgabewert würde also immer zum Wert des besseren Sensors tendieren. (Merke: Wenn bei wiederholten Messungen trotz unterschiedlicher Varianzen nicht annähernd die gleichen Mittelwerte herauskommen, ist irgendwas im System nicht normalverteilt. So z.B. lassen sich systematische Messfehler filtern.)

Bei drei Sensoren unterschiedlicher Varianzen haben wir unterschiedliche Erwartungshaltungen: Einerseits gehen wir davon aus, dass Güte (kleine Varianz) immer noch bestimmend ist, der Ausgabewert also zum Sensor der geringsten Varianz tendiert. Bsp:
L1= 100 (Sig = 0.1)
L2= 105 (Sig = 0.1)
L3= 110 (Sig = 0.05)
Die Tendenz würde sagen, der "wahre" Messwert liegt eher bei 110, als bei 100. Wir "trauen" dem besseren Sensor mehr.

Andererseits dürfen wir nicht ignorieren, dass bei einer guten Übereinstimmung der "schlechteren" Sensoren der gute Sensor einen Ausreißer produzieren kann. Beispiel:
L1= 100 (Sig = 0.1)
L2= 105 (Sig = 0.1)
L3= 150 (Sig = 0.05)

Hier würden L1 und L2 trotz geringerem Vertrauen durch die gute Übereinstimmung den Wert von L3 quasi überstimmen. Der Ausgabewert wäre wohl wesentlich näher an L1/L2 als an L3 anzunehmen.

Wenn wir diese Fälle jetzt berücksichtigen, können wir zumindest tendenzielle Änderungen vom zu erstellenden Fusionsalgorithmus ableiten:
Schieben wir den Messwert des guten Sensors zu den anderen beiden Sensoren, verschiebt sich der Ausgabewert zum guten Sensor hin.
Schieben wir den Messwert von einem der schlechteren Sensoren vom "Zentrum" (den anderen beiden Sensoren) weg, tangiert auch dies den Ausgabewert, aber mit einer geringeren Gewichtung.

Ohne jetzt ein Modell für das Problem gesucht zu haben, die Frage an die Runde: Ist das zu erwartende Verhalten so korrekt?

Hier steht die Beschreibung der Berechnung des gewichteten Mittelwertes von statistisch streuenden Größen anhand ihrer Streuung:
ich denke das könnte passen
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewichtung
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewichtung#Berechnung
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewich...%C3%B6%C3%9Fen

hallo,
danke erst mal für eure Antworten!
In der Tat wäre ein Kalman oder Monte-Carlo-Filter zu komplizirt, es sollte ja einfacher sein, quasi hinkend, aber in die richtige Richtung.


Ich hatte auch schon die Idee, die Messwerte nach ihrer Zuverlässigkeit zu gewichten und dann den gewichteten Durschschnitt zu bilden, aber das führt nur dazu, dass die unzuverlässigeren Sensoren immer tendenziell noch stärker verkleinert werden, was ja nicht stimmt, wenn die Mess-Schwerpunkte der zuverlässigeren Sensoren größer als jene sind.

Zitat:

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Edit: diese Befürchtung war nicht zutreffend!

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Das vorherige Ausfiltern absoluter Ausreißer ist ntl. schon sinnvoll, das könnte man per vorgeschaltetem Medianfilter tun, aber das ist nicht sehr selektiv, man müsste das eher mathematisch beschreiben (z.B. "größer als 3 sigma vom gemeinsamen Mittelwert entfernt" etc).


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EDIT:

ah - hat sich mit manfs Post überschnitten:
dies hier scheint der richtige Ansatz zu sein:

Gewichtung von statistisch streuenden Größen
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewich...%C3%B6%C3%9Fen

Gewichtung von Messgrößen
https://de.wikipedia.org/wiki/Gewich...%C3%B6%C3%9Fen

Zitat:

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Gewichtung von Messgrößen
In der Messtechnik kann es angebracht sein, verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten. Hierdurch wird erreicht, dass bei weiteren Berechnungen Werte mit kleineren Unsicherheiten entsprechend stärker gewichtet werden.

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Jetzt ist noch unklar, wie sich die "Unsicherheit" aus der Standardabweichung errechnet - kann man das einfach gleichsetzen...?

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UPDATE:
es scheint DOCH zu klappen, was ich zuerst probiert habe, mit der "Zuverlässigkeit"=(1-Standardabweichung)

Standardabw.
20% =0,2; Zuverlässigkeit = 1-0,2 = 0,8
10% =0,1; Zuverlässigkeit = 1-0,1 = 0,9
5% =0,05; Zuverlässigkeit = 1-0,05 = 0,95

Summe aller Zuverlässigkeiten:
0.8+0.9+0.95= 2,65


1.Fall
Sensor1 0,8*100= 80
Sensor2 0,9*110= 99
Sensor3 0,95*90= 85,5
80+99+85,5 = 264,5

264,5/2,65= 99,8 <<< !

2.Fall:
Sensor1 0.8*20 = 16
Sensor2 0,9*30= 27
Sensor3 0,95*5= 4,75
16+27+4,75 = 47,75

47,75/2,65 = 18,65 <<< !


schein tendenziell doch zu stimmen, was meint ihr (insb. wenn man jetzt nicht nur 3, sondern deutlich mehr Sensoren hätte, und wenn man genauert definiert, was ein Ausreißer ist und was nicht)?

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jetzt mal mit Kehrwert der Standardabw.:

Standardabw.
20% =0,2; Kehrwert = 1/0,2 = 5
10% =0,1; Kehrwert = 1/0,1 =10
5% =0,05; Kehrwert = 1/ 0,05 = 20

Summe aller Kehrwerte:
5+10+20 = 35


1.Fall
Sensor1 5*100= 500
Sensor2 10*110= 1100
Sensor3 20*90= 1800
500+1100+1800 = 3400

3400/35 = 97,14<<< !

2.Fall:
Sensor1 5*20 = 100
Sensor2 10*30= 300
Sensor3 20*5= 100
100+300+100 = 500

500/35 = 14,28 <<< !


sieht auch vernünftig aus!
Hier bei den Kehrwerten der Standardabw. wird die Sensorgenauigkeit etwas stärker gewichtet als oben bei der "Zuverlässigkeit"=(1-Standardabweichung), das würde ich dann auch tatsächlich bevorzugen!



edit, ergänzt:
Variante: Varianz statt Standardabweihung:

jetzt also mit Kehrwert der Varianzen gewichtet:

Standardabw. Varianz Kehrwert
0,2 -> 0,04 Kehrwert = 25
0,1 -> 0,01; Kehrwert = 100
5% =0,025; Kehrwert = 400
Summe aller Kehrwerte: 525


1.Fall
Sensor1 25*100= 2500
Sensor2 100*110= 11000
Sensor3 400*90= 36000
Summe = 49500

49500/525= 94,3 <<< !



2.Fall:
Sensor1 25*20 = 500
Sensor2 100*30= 3000
Sensor3 400*5= 2000
Summe = 5500

5500/525= 10,5 <<< !

- gestrichen -

Standardabweichung und Varianz sind absolute Werte. Bei Deiner Aufgabenstellung wächst die Standardabweichung mit dem Messwert. Das berücksichtigst Du nicht.

stimmt, ich habe sie selber (als rel. Fehler) näherungsweise ermittelt über den Messbereich (daher 5% oder 10% oder 20%), also

rel.Fehler = (Sollwert-Messwert) / Sollwert
die rel.Fehler dann quadriert,
dann alle Quadrate aufsummiert
durch die Anzahl der Messungen dividiert ("rel. Varianz")
und daraus die Wurzel gezogen ("rel.Standardabweichung")

Ich wüsste jetzt nicht, wie ichs besser machen könnte, hast du einen besseren, praktikableren Vorschlag?

Ja, den hätte ich. Aber Du solltest selber darauf kommen, wenn Du darüber nachdenkst, was mit Deiner Abweichung absolut und relativ passiert, wenn Du die doppelte Distanz misst.

Zitat:

---

Zitat von Holomino

Ja, den hätte ich. Aber Du solltest selber darauf kommen, wenn Du darüber nachdenkst, was mit Deiner Abweichung absolut und relativ passiert, wenn Du die doppelte Distanz misst.

---

die absoluten Ungenauigkeiten sind ja tatsächlich in etwa proportional zur Entfernung,
und die relativen Ungenauigkeiten, die hier einfließen, relativ gleichförmig über die Messdistanzen,
und ich messe ja die gleichen Sollwerte von Sensor zu Sensor.

D.h. wenn ein Hindernis in 10cm Entfernung ist, dann misst ein Sensor mit 5% SA exakter als einer mit 20% SA,
und wenn es in 1m Distanz ist, dann ebenfalls: in jedem Falle wären also die Messwerte gleichsinnig zu gewichten, was ich ja tue. (Klar wäre ein Kalmanfilter u.U schon besser!)


Von daher sehe ich jetzt noch nicht, was ich hier systematisch falsch machen würde -
Wie wäre also dein Vorschlag?

Du denkst zu einfach.
Wenn Du zwei Sensoren mit 10% Messfehler hast, die 100cm und 120cm messen, liegt der gewichtete Mittelwert nicht bei 110cm. Absolut misst der eine auf +/-10cm, der andere auf +/-12cm genau.

nein, sie messen beide bei 10% rel. Fehler auf 1m auf durchschnittlich (!) (absolut) 10cm genau, denn die Genauigkeit bemisst sich am echten Wert, nicht am (ggf. falsch gemessenen) Messwert,
und ist der echte Wert 120cm, dann haben beide mit 10% rel. Standardabw. 12cm durchschnittl. Messfehler.

einer mit 20% rel. Standardabw. hätte dann bei 1m allerdings 20cm durchschn. absoluten Fehler.

PS,
die Gewichtung erfolgt dann per Multiplikation der Messwerte mit dem Kehrwert der Unsicherheit, wie Wiki schrieb:

"Gewichtung von Messgrößen
In der Messtechnik kann es angebracht sein, verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten. Hierdurch wird erreicht, dass bei weiteren Berechnungen Werte mit kleineren Unsicherheiten entsprechend stärker gewichtet werden. "

Ich verstehe daher noch nicht, was hier systematisch wirklich falsch ist, und das Ergebnis gibt ja auch nur eine verlässlichere Tendenz, keine absolute erkenntnistheoretische Gewissheit!

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ich rechne jetzt noch mal dein Beispiel mit zwei 10%-"unsicheren" Sensoren durch, wo einer 100cm misst und der andere 120cm:

S1: (1/0,1) *100 = 1000
S2: (1/0,1) *120 = 1200

(1/0,1) + (1/0,1) = 20

(1000+1200)/20 = 110

stimmt doch, oder?
In diesem Falle wäre das identisch mit dem arithm. Mittel, und bei 2 gleichermßen ungenauen Sensoren wäre das auch das, was ich statistisch erwarten würde.

Was denn jetzt überhaupt? Ist's nun ein absoluter oder ein relativer Fehler, den Du angibst?

Wo findest Du denn im Wiki-Artikel irgendeine relative Angabe für den Fehler/ die Abweichung?
Da steht was von Standardabweichung - das ist eine feste mathematische Größe und die ist absolut. Die hat sogar 'ne Einheit.

Zitat:

---

Zitat von Holomino

Was denn jetzt überhaupt? Ist's nun ein absoluter oder ein relativer Fehler, den Du angibst?

Wo findest Du denn im Wiki-Artikel irgendeine relative Angabe für den Fehler/ die Abweichung?
Da steht was von Standardabweichung - das ist eine feste mathematische Größe und die ist absolut. Die hat sogar 'ne Einheit.

---

Im Wiki-Artikel steht "Unsicherheit",

Zitat:

---

...verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten....

---

und für die Unsicherheit setze ich hier wie gesagt meine experimentell selber bestimmte, über den Messbereich hinweg durchschnittliche relative Standardabweichung (z.B. 10%) ein, genau wie du, wenn du in deinem Beispiel von "10%" sprichst.
Was wäre dein besserer Gegenvorschlag?

10% von was? Von einem Meter? Warum setzt Du dann nicht 10cm ein?

was würde das an Vorteil bringen, wenn das Messobjekt mit zu ermittelndem Abstand
a) ca. einen Meter oder
b) ca. 50cm oder
c) ca. 10 cm
entfernt ist?

Nach Vorraussetzung ist ja der durchschn. relative statistische Fehler über den gesamten Messbereich ziemlich konstant,
also bei 10%
10cm auf 1m,
5cm auf 50cm
und 1cm auf 10cm.

Daher setze ich die relative (prozentuale) stat. Unsicherheit ein und gewichte die verschiedenen Messergebnisse mit dem Kehrwert der relativen stat. Unsicherheit des jew. Sensors, d.h. ich vertraue den zuverlässigeren tendenziell mehr.

Nu hör doch mal auf, um den heißen Brei zu reden und sag endlich, was Du da genau gemessen hast. Ich verstehe es sonst nicht!

Angaben über Messfehler haben im Allgemeinen nichts mit statistischen Annahmen zu tun. Wenn Dir ein Sensorhersteller eine 5%ige Genauigkeit nebst +/-2 Bit des Messwertes garantiert, musst Du nicht annehmen, dass das Teil wegen Rauschen auch mal (wenn auch nur selten) bei -20% liegt. Wenn dem so ist, läuft etwas systematisch (nicht stochastisch) schief. Ein Millimetermaß wirst Du auch nicht dazu zwingen können, 20mm falsch zu messen, wenn Du es richtig anlegst. Von selbst rauscht die Skala auf jeden Fall nicht um 20mm.

Daher noch einmal zum Ankreuzen, meinetwegen auch exklusiv nur für mich Deppen:
a) Du hast bei 1m gemessen und nach Deiner Formel zur Standardabweichung 10% (also absolut 10cm) herausbekommen.

oder
b) Du hast bei unterschiedlichen Distanzen gemessen und immer das gleiche Ergebnis von 10% relativ auf den Messwert bezogen bekommen.

Zur Erläuterung noch einmal: Die relative Standardabweichung gibt's auch, das ist der Variationskoeffizient. Im Wiki steht allerdings nix vom Einsetzen des Variationskoeffizienten. Und rein rechnerisch ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse beim Einsetzen der beiden Werte.

Das gibt MIR zumindest zu denken.

wieso heißer Brei?
ich habe doch oben geschrieben, wie ich den durchschn. relativen stat. Fehler selber bestimmt habe - also nochmal:

Jeder Sensor wird gemessen
10x bei 10cm Objektabstand
10x bei 20cm Objektabstand
10x bei 30cm Objektabstand
10x bei 40cm Objektabstand
10x bei 50cm Objektabstand
10x bei 60cm Objektabstand
usw.
und bei jeder Messung wir der rel. Messfehler bezogen auf den echten Objektsabstand bestimmt.

Vorteil:
ich kann die Stichprobe, die ich hier mache, meinen echten Umweltbedingungen anpassen.

Alle rel. Einzelfehler werden quadriert, dann aufsummiert,
dann wird diese Summe durch die Anzahl der Messungen dividiert (Durchschnittsbildung),
daraus die Wurzel.

Bsp.:
echt 50cm, gemessen: 48, rel. Fehler = (50-48 )/50= 2/50 = 0,04
echt 70cm, gemessen: 75, rel. Fehler = (70-75)/70 = -5/70 = -0,07

Hätte ich jetzt nur diese 2 Werte, und nicht 100, ergäbe das beispielsweise:
0,04² + (-0,07)² = 0,0016 + 0,0049 = 0,0065
/2 = 0,00325 // Varianz
daraus Wurzel = 0,057 = 5,7% // Standardabweichung


Was man bekommt, ist ein statistischer, durchschnittlicher relativer "Abweichungswert" (Unsicherheitswert), den der Sensor über den gesamten Messbereich produziert; nach den Rechenschritten entspricht dies der Ermittlung der (relativen) Standardabweichung aus den (relativen) Messfehlern.

Dieser Wert mag beim einen Sensor bei 0.05 (5%), beim anderen bei 0.1 (10%) und beim dritten bei 0.2 (20%) liegen.
Diese Werte im TOP sind beispielhaft und idealisiert, um das Prinzip des Problems zu verdeutlichen.

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edit:
(habs grade noch mal nachgerechnet, jetzt müssten die Beispielwerte stimmen)

Also gut.
Du setzt also den Variationskoeffizienten statt der Standardabweichung in die Berechnung des gewichteten Mittelwertes ein.
Du bist sicher, dass das funktioniert?

Warum steht dann im Artikel "Standardabweichung" und insbesondere: Warum kommt beim Einsetzen der Standardabweichung etwas anderes heraus?
Zitat: In der Messtechnik kann es angebracht sein, verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten. Hierdurch wird erreicht, dass bei weiteren Berechnungen Werte mit kleineren Unsicherheiten entsprechend stärker gewichtet werden.

Folge dem Link "Unsicherheiten". Auch das sind absolute Angaben.

Mal ein kleines Experiment dazu: Wenn ich o.g. Werte in eine Kreuzkorrelation einsetze (Berechne für jede tatsächliche Distanz die Plausibilität anhand der Summe der Gauss-Wahrscheinlichkeiten beider Messwerte) kommt da auch nicht das Optimum in der Mitte beider Distanzen.

Anhang 33597

Zitat:

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Warum steht dann im Artikel "Standardabweichung" und insbesondere: Warum kommt beim Einsetzen der Standardabweichung etwas anderes heraus?

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da steht nicht "Standardabweichung", sondern Unsicherheiten !
Ich hatte es bereits einmal angemerkt, s.o.!

Zitat:

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In der Messtechnik kann es angebracht sein, verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten.

---

Was schlägst du also als "Unsicherheiten" vor, zumal die absoluten Fehler ja lt. Vorraussetzung stark von der Messdistanz abhängen, anders als die rel. Fehler, die als "Unsicherheiten" über den gesamten Messbereich ziemlich konstant sind?

Die absolute Standardabweichung über den kompletten Messbereich macht eher keinen Sinn, denn wenn diese ca. 20 beträgt (bes. groß durch die Fehler bei größeren Distanzen), dann bekäme ich bei einer Distanz von 10cm ein teilw ins Negative reichende Gauss-Kurve.

Die Unsicherheit ist im Wiki verlinkt. Lese da weiter. Das ist auch ein Absolutwert.

Zitat:

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Zitat von Holomino

Die Unsicherheit ist im Wiki verlinkt. Lese da weiter. Das ist auch ein Absolutwert.

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nein, das wird nicht eindeutig definiert, nur darauf hingewiesen, dass es ein Absolutwert und ebenfalls ein Schätzwert ist und es verschiedene Bestimmungsmethoden gibt.
Dass dieser identisch sein soll mit der absoluten Standardabweichung und NICHT der relativen, oder auch etwas ganz anderem, das steht dort nicht (zumindest nicht gefunden).

Wenn ich dich aber richtig verstehe, würdest du die absolute Standardabweichung verwenden, ja?

Naja, aus dem Notationskapitel geht's ja recht eindeutig hervor, was gemeint ist.

Und eine leichte Verschiebung in die eine oder andere Richtung kommt mit (nach einigem schrägen Denken) absolut logisch vor. Zumindest mit der folgenden Argumentation:
Bevorzuge den "besseren" Sensor in der Gewichtung. Bei gleichem Variationskoeffizienten und gleicher Trefferwahrscheinlichkeit misst der Sensor mit dem kürzeren Messwert zumindest hypothetisch besser (weil absolut ein kleinerer Fehler zu erwarten ist).

Zitat:

---

Naja, aus dem Notationskapitel geht's ja recht eindeutig hervor, was gemeint ist.

---

meinst du mit Notationskapitel das hier:

Zitat:

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Zu einem Messergebnis als Näherungswert für den wahren Wert einer Messgröße soll immer die Angabe einer Messunsicherheit gehören. Diese grenzt einen Wertebereich ein, innerhalb dessen der wahre Wert der Messgröße mit einer anzugebenden Wahrscheinlichkeit liegt (üblich sind Bereiche für ungefähr 68 % und ungefähr 95 %). Dabei soll der als Messergebnis verwendete Schätzwert oder Einzelmesswert bereits um bekannte systematische Abweichungen korrigiert sein.[1]

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68% stat. Wahrscheinlichkeitsbereich liegt ja innerhalb +/- 1 sigma, und 95% zwischen +/- 2 sigma um den echten Wert herum. (edit: sigma = Standardabweichung)
Dabei wird aber auch auf den "GUM" zur Ermittlung verwiesen, und hier heißt es

Zitat:

---

Das Beiblatt beschreibt die Anwendung der Monte-Carlo-Methode zur Ermittlung der Messunsicherheit.

---

Dese Monte-Carlo-Methode allerdings hat ja nichts mehr mit der Berechnung der Gaussschen Standardabweichung zu tun.

Was also ist genau dein Vorschlag, um rechnerisch

Zitat:

---

verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten zu gewichten

---

?

Wie gesagt, ich gehe da 'nen anderen Weg.

Das Wertbildung über mehrere Sensoren sehe ich gar nicht als so kritisch. Was mich viel mehr bei der Fusion interessiert, ist die systematische Identifikation von Ausreißern und die Bestimmung eines Gütefaktors des so gemeinsam generierten Wertes. Der Wert mag besser sein, aber seine Unschärfe hat er über die Fusion nicht verloren.

Anhang 33598

Das Bild zeigt mal drei unterschiedliche Fälle, in denen ich nur die Distanz des "besten" Sensors verschiebe. Ohne irgendwelche Ausnahmeregeln oder Thresholds zu definieren, zeigt sich schon über die Summe der Wahrscheinlichkeiten zu einer vermuteten "wahren" Distanz, wie der "genaue" Sensor immer mehr zum Ausreißer wird.

bei mehreren unterschiedlichen Sensoren kann ja der zuverlässigste Sensor mit 1% Wahrscheinlichkeit auch einen Wert außerhalb von +/- 3 sigma liefern, also bei 1m und sigma=5 z.B. >115
oder mit 5% Wahrsch. (2*sigma) <90 oder >110,
und ein unzuverlässigerer kann durchaus bei 1m und sigma=20 den echten Wert auf den Kopf treffen oder auch bei 95 landen bzw. mit 68% Wahrsch. (1*sigma) irgendwo zwischen 80 und 120.

Nur statistisch wird es sich den echten Verhältnissen auf lange Sicht annähern.
Wenn du also misst, weisst du nicht, wer recht hat, du musst dich auf statistische Funktionen zurückziehen, die mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit den tatsächlichen Wert am besten approximieren.

Ich verstehe jetzt daher noch nicht, wie du die Fälle 1+2 aus dem TOP in "deiner Weise" ausrechnen willst, anders als mit einem per "Vertrauenskoeffizienten" gewichteten Durchschnitt?

Angenommen ich habe Deine drei Messwerte von ganz am Anfang.
- Ich nehme rein intuitiv eine reale Distanz an, z.B. 90cm.
- Ausgehend von diesen 90cm berechne ich über die Gaussfunktion für den ersten Sensor die Wahrscheinlichkeit aus (Standardabweichung = 90cm * Variationskoeffizient, Messwert ist direkt angegeben).

Code:

---

private double NormalizedGaussFromValue(double value, double average, double stdDeviation)
        {
            return  Math.Exp(-0.5 * Math.Pow((value - average) / stdDeviation, 2))
                        / (Math.Sqrt(2*Math.PI) * stdDeviation);
       
        }

        private double EqualizedGaussFromValue(double value, double average, double stdDeviation)
        {
            return Math.Exp(-0.5 * Math.Pow((value - average) / stdDeviation, 2));
        }

---

value ist der Messwert
average ist der angenommene Scheitelpunkt der Kurve
stdDeviation ist die Standardabweichung


- Das mache ich einmal für die normalisierte Form (Integral der Glocke ist 1) und einmal für die egalisierte Form (Scheitelwert ist 1. Merke, der Scheitelwert wird nur durch den Bruchnenner normalisiert).

- Das gleiche rechne ich auch für die anderen beiden Sensorwerte aus.
- Summiere ich die Wahrscheinlichkeiten der drei Sensoren für die angenommene Distanz auf, bekomme ich eine normalisierte und eine egalisierte Gesamtwahrscheinlichkeit für die Annahme, dass meine Distanz real bei 90 cm liegt. Aber die Frage stellt sich: Wird dieser ermittelte Wert besser, wenn ich eine andere Distanz als realen Wert annehme?
- Also tickere ich alle möglichen Distanzen einmal durch und schaue, wo Maxima in den Kurven liegen (Kreuzkorrelation).

Die egalisierten Werte machen dabei die einzelnen Komponenten der Wahrscheinlichkeitssumme der drei Messwerte vergleichbar. Wo hier in der Kurve das Maximum zu finden ist, sollte sich mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auch der reale Distanzwert befinden.

Der normalisierte Wert dient zur Abschätzung, welche Streuung das Ergebnis hat. Er zeigt im Vergleich zu den normalisierten Scheitelpunktwerten der Glockenkurven einzelner Sensoren die Qualität oder die Streuung.

(So ganz im Reinen bin ich mir da mit dem letzten Vergleich aber auch noch nicht. Der will noch nicht so, wie ich's erwarte.)

Zitat:

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- Ich nehme rein intuitiv eine reale Distanz an, z.B. 90cm.
- Ausgehend von diesen 90cm berechne ich über die Gaussfunktion

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nein, du kannst keine reale Distanz annehmen, da du sie absolut nicht kennst!
du (und ich) haben keine Ahnung, rein keinen blassen Schimmer, was "da draußen" los ist,
wir haben nur die Sensoren und ihre Messwerte, mit bekannter Messgenauigkeit.

Der "reale Wert" kann Lichtjahre von den Messwerten entfernt liegen, und du kannst ja auf nem Arduino nicht schrittweise alle denkbaren Entfernungen per Gausskurve durch die gesamte Galaxis durchrechnen, und dann noch für 3,4,5,6 oder mehr Sensoren, und du hast von jedem Sensor auch nur genau 1 aktuellen Messwert.
(klar, das mit den Lichtjahren ist übertrieben, aber mit 3 Sensorwerten kann schon der gesamte Bereich von 5 bis 150cm abgedeckt werden!)

Beschränken wir uns aber jetzt auf die Fälle 1+2, wie genau sähe deine mathematische Berechnung aus (Arduino/AVR-kompatibel)?
analog schrittweise wie hier berechnet:
https://www.roboternetz.de/community...l=1#post646322

- und wie lauten deine Ergebnisse für Fälle 1+2 als ausgerechnete Zahlen?

- dann könnte man dein Verfahren mal gut mit meinem bisherigen nach Aufwand und Ergebnis vergleichen.

Zitat:

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Zitat von HaWe

nein, du kannst keine reale Distanz annehmen, da du sie absolut nicht kennst!
du (und ich) haben keine Ahnung, rein keinen blassen Schimmer, was "da draußen" los ist,
wir haben nur die Sensoren und ihre Messwerte, mit bekannter Messgenauigkeit.

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Natürlich kann ich das.
Das nennt man Hypothese. Über die Kreuzkorrelation testet man systematisch alle möglichen Hypothesen gegeneinander. Die beste Hypothese davon verspricht die größte Genauigkeit der Übereinstimmung. Wobei hier "Genauigkeit der Übereinstimmung" die größte Wahrscheinlichkeit darstellt, dass die hypothetische Distanz wirklich der realen Distanz entspricht.

dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

Zitat:

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Zitat von HaWe

Der "reale Wert" kann Lichtjahre von den Messwerten entfernt liegen, und du kannst ja auf nem Arduino nicht schrittweise alle denkbaren Entfernungen per Gausskurve durch die gesamte Galaxis durchrechnen, und dann noch für 3,4,5,6 oder mehr Sensoren, und du hast von jedem Sensor auch nur genau 1 aktuellen Messwert.
(klar, das mit den Lichtjahren ist übertrieben, aber mit 3 Sensorwerten kann schon der gesamte Bereich von 5 bis 150cm abgedeckt werden!)

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Das würde alleine durch die Anzahl der Maxima (3!) in der Reihe der Hypothesen auffallen...
Anhang 33599
… und kann auch gleich als Fehlmessung im Orkus verschwinden.

wie gesagt, dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

(Bei Arduino gibts übrigens auch keine Klasse Math, und deine Graphen habe ich auch nicht bei Arduino zur Verfügung, aber du kannst ja die echte mathematische Formel dafür hinschreiben;

edit: übrigens auch bei einer Fehlmessung eines oder zweier Sensoren brauche ich aber irgendein Ergebnis, eben das wahrscheinlichste.)

Zitat:

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Zitat von HaWe

wie gesagt, dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

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Kein Problem! Du findest im Log sämtliche relevanten Eingangswerte, Zwischenergebnisse sowie die übers Maximum bestimmten Bestfit-Werte

Code:

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==========================================
Sensor1  Dist: 0120 rel. deviation: 0,20
Sensor2  Dist: 0100 rel. deviation: 0,10
Sensor3  Dist: 0090 rel. deviation: 0,05
==========================================
Hypothetic dist:90 (dev1: 18,00  dev2: 9,00  dev3: 4,50)-->Norm.: 0,1181  Eq.: 1,7888
Hypothetic dist:91 (dev1: 18,20  dev2: 9,10  dev3: 4,55)-->Norm.: 0,1186  Eq.: 1,8703
Hypothetic dist:92 (dev1: 18,40  dev2: 9,20  dev3: 4,60)-->Norm.: 0,1154  Eq.: 1,9092
Hypothetic dist:93 (dev1: 18,60  dev2: 9,30  dev3: 4,65)-->Norm.: 0,1095  Eq.: 1,9141
Hypothetic dist:94 (dev1: 18,80  dev2: 9,40  dev3: 4,70)-->Norm.: 0,1019  Eq.: 1,8962
Hypothetic dist:95 (dev1: 19,00  dev2: 9,50  dev3: 4,75)-->Norm.: 0,0937  Eq.: 1,8661
Hypothetic dist:96 (dev1: 19,20  dev2: 9,60  dev3: 4,80)-->Norm.: 0,0857  Eq.: 1,8325
Hypothetic dist:97 (dev1: 19,40  dev2: 9,70  dev3: 4,85)-->Norm.: 0,0784  Eq.: 1,8014
Hypothetic dist:98 (dev1: 19,60  dev2: 9,80  dev3: 4,90)-->Norm.: 0,0722  Eq.: 1,7758
Hypothetic dist:99 (dev1: 19,80  dev2: 9,90  dev3: 4,95)-->Norm.: 0,0670  Eq.: 1,7562
Hypothetic dist:100 (dev1: 20,00  dev2: 10,00  dev3: 5,00)-->Norm.: 0,0628  Eq.: 1,7419
Hypothetic dist:101 (dev1: 20,20  dev2: 10,10  dev3: 5,05)-->Norm.: 0,0594  Eq.: 1,7309
Hypothetic dist:102 (dev1: 20,40  dev2: 10,20  dev3: 5,10)-->Norm.: 0,0565  Eq.: 1,7213
Hypothetic dist:103 (dev1: 20,60  dev2: 10,30  dev3: 5,15)-->Norm.: 0,0541  Eq.: 1,7112
Hypothetic dist:104 (dev1: 20,80  dev2: 10,40  dev3: 5,20)-->Norm.: 0,0519  Eq.: 1,6993
Hypothetic dist:105 (dev1: 21,00  dev2: 10,50  dev3: 5,25)-->Norm.: 0,0499  Eq.: 1,6845
Hypothetic dist:106 (dev1: 21,20  dev2: 10,60  dev3: 5,30)-->Norm.: 0,0480  Eq.: 1,6666
Hypothetic dist:107 (dev1: 21,40  dev2: 10,70  dev3: 5,35)-->Norm.: 0,0461  Eq.: 1,6453
Hypothetic dist:108 (dev1: 21,60  dev2: 10,80  dev3: 5,40)-->Norm.: 0,0442  Eq.: 1,6209
Hypothetic dist:109 (dev1: 21,80  dev2: 10,90  dev3: 5,45)-->Norm.: 0,0423  Eq.: 1,5939
Hypothetic dist:110 (dev1: 22,00  dev2: 11,00  dev3: 5,50)-->Norm.: 0,0404  Eq.: 1,5647
Hypothetic dist:111 (dev1: 22,20  dev2: 11,10  dev3: 5,55)-->Norm.: 0,0386  Eq.: 1,5339
Hypothetic dist:112 (dev1: 22,40  dev2: 11,20  dev3: 5,60)-->Norm.: 0,0368  Eq.: 1,5019
Hypothetic dist:113 (dev1: 22,60  dev2: 11,30  dev3: 5,65)-->Norm.: 0,0351  Eq.: 1,4694
Hypothetic dist:114 (dev1: 22,80  dev2: 11,40  dev3: 5,70)-->Norm.: 0,0334  Eq.: 1,4366
Hypothetic dist:115 (dev1: 23,00  dev2: 11,50  dev3: 5,75)-->Norm.: 0,0318  Eq.: 1,4039
Hypothetic dist:116 (dev1: 23,20  dev2: 11,60  dev3: 5,80)-->Norm.: 0,0302  Eq.: 1,3715
Hypothetic dist:117 (dev1: 23,40  dev2: 11,70  dev3: 5,85)-->Norm.: 0,0288  Eq.: 1,3398
Hypothetic dist:118 (dev1: 23,60  dev2: 11,80  dev3: 5,90)-->Norm.: 0,0274  Eq.: 1,3088
Hypothetic dist:119 (dev1: 23,80  dev2: 11,90  dev3: 5,95)-->Norm.: 0,0261  Eq.: 1,2787
Hypothetic dist:120 (dev1: 24,00  dev2: 12,00  dev3: 6,00)-->Norm.: 0,0249  Eq.: 1,2494
Normalized optimal probability 0,119 at distance 91
Equalized optimal probability 1,914 at distance 93
==========================================

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Soll ich Dir die Zwischenschritte jetzt noch mit nem Taschenrechner herleiten oder schaffst Du den Rest selbst?

Zitat:

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Zitat von HaWe

(Bei Arduino gibts übrigens auch keine Klasse Math, und deine Graphen habe ich auch nicht bei Arduino zur Verfügung, aber du kannst ja die echte mathematische Formel dafür hinschreiben;

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Das Bild hast Du selber aus Wikipedia in einem Deiner vorherigen Posts kopiert. Die Formel darunter hast Du nicht gesehen? Such noch mal Dichtefunktion im rechten Kasten bei https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung. Neben KlickiBunti-Bildern bekommt man da auch ne Funktion, die Dir für ein x bei gegebenem Sigma und µ den Wert der Kurve zurückgibt. (Das y= oder f(x)= davor musst Du Dir allerdings denken.)

Zitat:

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Zitat von HaWe

edit: übrigens auch bei einer Fehlmessung eines oder zweier Sensoren brauche ich aber irgendein Ergebnis, eben das wahrscheinlichste.)

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Nein, wenn Du jemals ein fehlertolerantes System programmiert hast, dann kommst Du zu der Erkenntnis, dass Du das nicht brauchst. Da sind unplausible Messergebnisse genauso zu behandeln, wie fehlerhafte Eingangsparameter einer Funktion. Die fängt man ab.

Ich versuche es noch mal. Anhand meines Beispiels. Ob die Toleranzen jetzt so von HaWe gemeint sind oder nicht. Ist ja erst mal egal. Wichtig ist, ich habe 3 Sensoren mit Streuung der Werte. Ich denke, in dem Beispiel kann man das Streuung oder Toleranz nennen, man kann es auch Messfehler nennen. Meint für mich erstmal dasselbe: gemessene Werte befinden sich innerhalb gewisser Grenzen. Bei einem Sensor kann der Wert bis zu 20% betragen, bei Anderen weniger. Es könnte auch passieren, dass die Werte von den Sensoren teils außerhalb dieses Rahmens liegen. Diese Werte könnte man sicher irgendwie rausfiltern, da man 3 Sensoren hat, die man vergleichen kann. Fällt der Wert eines Sensors damit raus, hat man nur noch die Werte zweier Sensoren. Fallen 2 Werte raus, hat man nur noch einen Sensorwert. Man müsste sich hier entscheiden, auf welchen man sich am meisten verlassen kann, bzw. welchem man "vertraut" um den kleinstmöglichen "Schaden" anzurichten. Mit Schaden meine ich, dass man sich bei einem Entfernungssensor lieber einen größeren Wert berücksichtigt, als einen kleineren, damit es nicht zur Kollision kommt, falls dass das Ziel sein sollte. Es kann auch andere Ziele geben, bei denen die Werte anders gewichtet würden.

1. Messung: 100cm, Fehler: +/-20%
2. Messung: 110cm, Fehler: +/-10%
3. Messung: 90cm, Fehler: +/-5%

Mittelwert aller Messungen: 100cm, Fehler über alle: +/-11.7% (tatsächliche Entfernung: 88.3cm bis 117cm).

Den dritten Sensor würde ich als am verlässlichsten einstufen, weil der die geringste Streuung hat. Sensor 3, 3.Messung, tatsächliche Entfernung: 85.5cm bis 94.5cm, weil Fehler: +/-5%.

Jetzt könnte man das eindämmen. Ich denke hier, dass ich für eine möglichst genaue Messung, versuche den Wert zu finden, der dem Mittelwert am nächsten kommt, aber irgendwie auch wahrscheinlich ist. Ich müsste mich also mit meiner Betrachtung auf die 100cm zu bewegen.

Frage, was ist der unterste Grenzwert, den ich annehmen könnte? Hier kommt es drauf an, welche Gewichtung ich ansetze: verlasse ich mich auf eine Mittelung der Werte aller Sensoren oder nur auf einen einzigen Sensor?
Ich habe mich für den unteren Grenzwert für die Mittelung entschieden:

Der untere Grenzwert ist wohl: 88.3cm.

Beim oberen Grenzwert muss man sich auch überlegen, was einem wichtig ist. Daher habe ich mich für den Wert entschieden, der mir der 3. Sensor garantiert:

Der obere Grenzwert ist wohl: 94.5cm.

Frage, warum ich mich so entschieden habe?
Ich versuche, den genauesten Wertebereich zu treffen, in welchem sich der tatsächliche Entfernungswert befinden könnte. Deshalb habe ich die Werte gewählt, die meinem Ziel (dem errechneten Mittelwert der Daten, der 3 Sensoren) am nächsten liegen. Deshalb 88.3 und 94.5.

Allerdings ist in diesem Beispiel kein genauer Wert zu errechnen, ich treffe nur eine Aussage und entscheide mich indirekt damit für einen Wert, der dem idealen Wert nicht entsprechen muss.

Wobei ich ehrlich sagen muss, dass ich den Sinn von Anfang an nicht ganz verstehe. Eine Sensorfusionierung, also ganz einfach gesagt: das Zusammenführen verschiedener Daten zu einem Gesamtbild und damit zu einem momentan endgültigen Ergebnis, setzt nach meinem Verständnis immer voraus, dass man die Umgebungsbedingungen, die Anforderungen an das Ergebnis (Gewichtung der Daten) und die Sensoren, speziell für eine Aufgabe festlegen muss. Für eine Entferungsmessung könnte ich mir vorstellen: Mediumdruck, Mediumdichte, Mediumtemperatur, Sensortemperatur etc... Würde man alles einkalkulieren was irgend denkbar ist, hätte man vermutlich einen fast 100%ig sicheren Wert, nach Fusionierung.

Um das jetzt zu entkomplizieren wäre hier auch die Frage: warum verlässt man sich nicht auf den Sensor mit der geringsten Streuung der Messwerte, wenn alle drei Sensoren dieselbe Min-/Max-Entferung abdecken? Dann kann man 3 dieser Sensoren oder auch 5 dieser Sensoren mit geringer Streuung wählen und mit diesen Sensordaten eine vernünftige Aussage treffen. Oder man verwendet gleich eben nur einen Sensor und geht das Ganze anders an.

Alle komplexen Formeln, die man gefunden hat und die sich bewährt haben, stellen auch immer Anforderungen. Es gibt Bedingungen an die Sensoren und die Umgebung, damit diese Formeln einen Wert auswerfen, der ziemlich verlässlich ist.


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Wenn man davon ausgeht, dass die drei Sensoren normal messen und eine gewisse Streuung haben (idealerweise gleichmäßig, um den idealen Messwert herum), so nimmt man wohl den Mittelwert aller drei Sensorergebnisse und ist fertig.

Misst ein Sensor 110cm, bei einer max. Streuung von +/-10%, so liegt das Ergebnis im Bereich 99cm bis 121cm. Um also genauere Werte zu errechnen, benötigt man weitere Daten der Messung bzw. Messumstände und die Kenntnis, wie sich dies auf die Sensorgenauigkeit auswirkt. Nach Fusionierung erhält man dann einen genaueren, berechneten Wert.
Mit Pech liegen auch alle drei Sensoren daneben, weil allen drei Sensoren dieselbe Störung zugrunde liegt.

Fazit: Wenn ein Sensor mit der Messung zum Beispiel 1cm über dem tatsächlichen Wert liegt, der Zweite Sensor 1cm darunter und der Dritte 2cm darunter, wie kommt man dann mit irgendeiner Formel dieser Welt dem tatsächlichen Wert am nächsten, wenn keine weiteren Umstände bekannt sind? Antwort: gar nicht. Warum? Antwort: weil man nicht weiß, welcher Sensor gerade welche Ungenaugkeit bei der Messung aufweist. Für den - in dem Fall - wahrscheinlichsten Wert, nimmt man das Mittel aller drei Sensorergebnisse, um sich dem idealen Messwert zu nähern. Mehr geht hier nicht. Je mehr Messungen oder Sensoren man hat, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass das Mittel aller Werte dem Idealwert möglichst nahe ist.

Einen genaueren Messwert kann man ableiten, wenn man zuvor Vergleichsmessungen machte. Was HaWe ja schon getan hat, um zu sehen, wieviel die Sensoren ca. streuen. Das allein reicht aber nur aus, um die Toleranz des Ergenisses, in Bezug zur Entfernung zu kennen. Ohne weitere Messreihen lässt sich nichts Genaueres ableiten. HaWe hat ja nur ermittelt, weiviel die Sensoren im gesamten Messbereich (von ..cm bis ..cm) vom idealen Wert abweichen können. Je mehr Messreihen man hat, die unter verschiedenen Bedingungen gemacht wurden, je genauer kann man eine endgültige Formel aufstellen. Hier brauchts dann aber wahrscheinlich wieder weitere Sensoren, um die Bedingungen während der Messung zu erfassen. Dann kommt man zur Sensorfusionierung und kann den nun einmalig gemessenen Wert ziemlich exakt einschätzen und letztlich auf einen genaueren Wert schließen.