Schwingende Kompassnadel

Aus mehreren kleinen Stabmagneten kann man längere Stabmagneten mit definierten Eigenschaften aufbauen, um dann deren Verhalten zu vergleichen. Die Geomagbausteine (ohne Kugeln,) kann man beispielsweise zu einem Stab aneinander heften und an einem Faden aufhängen und im Erdmagnetfeld als Kompass ausrichten.
Wenn man dabei den Faden zwischen zwei Bausteinen einklemmt, dann kann man eine waagerecht hängende Kompassnadel aus 2, 4 oder 6... Elementen bilden.

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Die Werte der verwendeten zylindrischen Stabmagnete wurden so bestimmt, dass die dünne Kunststoffbeschichtung unberücksichtigt bleiben kann. Gemessen habe ich die Masse und die Länge gleich über 6 Bausteine. Sie haben eine gemeinsame Masse von 28g und eine Gesamtlänge von 16,2cm. Die Magnete haben einen Durchmesser von 6mm.

Es wurde als Versuch ein Magnetstab aus 4 Elementen in der Mitte an einem langen dünnen Faden waagerecht aufgehängt und er pendelte sich auf die Nord-Süd-Richtung ein. Bei geringem Ausschlag pendelte er mit 5 Sekunden Periodendauer um die Mittelstellung.

Welche Flussdichte haben die Magnete?
Mit welcher Periodendauer pendelt eine Magnetnadel aus 2 Elementen (oder aus 6 Elementen ...) bei geringem Ausschlag im Erdmagnetfeld?

Manfred


Ich habe die Berechnung gerade für eine andere Anwendung benötigt und dachte, ich könnte sie auch gleich hier einmal als Aufgabe stellen.
Kompassnadeln kommen ja öfters mal vor und von was die Frequenz abhängt, mit der sie einpendeln ist ja recht interessant.
Meistens geht es heute dabei um Magnetresonanztomographie .

Ein Wert, den man für die Lösung benötigt, ist die Stärke des Erdmagnetfeldes. Es gibt eine Reihe von Angaben dazu im Netz.

Sehr präzise ist die von http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/jsp/IGRFGrid.jsp. falls es sonst mal benötigt wird. Man kann sich hier ganze Tabellen mit den Werten über die Längengrade und Breitengrade ausgeben lassen.

Gemessen wurde in München: 48° 9' nördliche Breite, 11° 35' östliche Länge, aber so genau muss diese Angabe nicht sein.
Manfred

Zu den Gleichungen, die man für diese Aufgabe benötigt, gehört zunächst einmal die Schwingungsdauer eines Drehschwingers (1). Hierin kommen die Größen Trägheitsmoment J des Stabes und die Winkelrichtgröße D, also das Moment pro Auslenkungswinkel vor.

Das Trägheitsmoment des Stabes ist in (2) angegeben und ist proportional zu m und l².

Die Größe D ist wie gesagt das Moment pro Winkel (3). Das Moment, das auf einen Stabmagneten im Magnetfeld wirkt, ist das Dipolmoment des Magneten mal der Feldstärke mal dem Sinus des Winkels zwischen den beiden (4).
Für kleine Winkel entspricht der Sinus dem Winkel und die Richtgröße D wird zu Md * He (5).
Das Dipolmoment für einen homogenen Magneten ist die Flussdichte mal dem Volumen, hier also Flussdichte mal Fläche mal Länge (6).


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Setzt man die Terme (2) und (7) in die Gleichung (1) für die Periodendauer ein, dann erhält man die Gleichung (8 ) für T mit der einzigen Unbekannten B. Diese lässt sich leicht nach B auflösen (9) und man erhält den gesuchten Wert für B.

Aus den Daten für die magnetischen Flussdichte des Erdmagnetfeldes kann man die Horizontalkomponente des Feldes mit 21µT ablesen. Das ist auch die Gesamtflussdichte von 48µT mal dem Sinus von 90°- Inklination. Die Inkliantion ist mit 64° angegeben. Die Felstärke erhält man wenn man die 21µT durch die Permeabilität µo teilt, also durch 4*pi*10^-7 Vs/Am.
Der Wert für He ist damit 16,73 A/m.
Die Masse eines Magnetelementes ist 28/6 g und die Länge ist 0,162/6 m.

Für den Versuch mit 4 Magnetelementen ergibt sich so mit Gleichung (9) bei der Schwingungsdauer von 5s eine Flussdichte von 0,56T. Ein Wert den man für einen guten Stabmagneten auch etwa erwartet hätte. Ich finde es schon toll, wie man so etwas messen kann, (ein bisschen Rechnerei ist halt auch dabei).



Die Schwingungsdauer für andere Längen des Stabmagneten kann man nachmessen. Man kann sie auch gleich aus Gleichung (8 ) ablesen: Die Anzahl n von Magnetelementen ist linear in den Größen m und l. In der Gleichung (8 ) für T steht n damit quadriert unter der Wurzel. T ist somit proportional zu n.

Wenn die Periodendauer bei der Länge von 4 Elementen 5s beträgt, dann beträgt sie bei 2 Elementen 2,5s und bei 6 Elementen 7,5s ... Schön ist auch hierbei, wie einfach sich das Ergebnis durch eine Messung über ein paar Perioden verifizieren lässt.

Manfred

Hallo Manf,

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Auch wenn du bisher keine Antworten erhalten hast, heißt das nicht, daß es keinen interessiert.
Deine Ausführungen sind immer hochinteressant und wissenschaftlich untermauert.

Wenn ich wenig Zeit habe, lese ich zuerst deine Beiträge. :)

Gruß, Michael

Vielen Dank für das große Lob. Ich habe mich dafür interessiert, ob man es nachvollziehbar ausrechnen kann; am Anfang sieht ja manches etwas unübersichtlich aus. Nachdem ich es so zusammengestellt habe glaube ich, es geht.

Man sollte auch das Experiment einmal mit ein paar gleichen Magnetstückchen machen, es ist überraschend, wie einfach es ist und wie gut es funktioniert.
Manfred

Geniales Rätsel,
und ich komm wie die alte Fastnacht.
Eine Frage hätte ich allerdings noch:
wenn man das Problem mit dem Energiesatz angeht:
kinetische Energie= magnetische Energie
1/2*J*omega^2=1/2*J*(2*pi/T)^2 =1/2*B*H*V mit B*H= Volumenbezogene Magnetenergie
Warum muss man dann die Magnetfeldstärke auf das Erdmagnetfeld und die magnetische Flussdichte auf den Magneten beziehen? Wäre es auch andersherum möglich die Feldstärke des Magneten zu berechnen? Könnte man dann nicht auch das µ_r des Magneten bestimmen?

Gruß Frelk

Die Magnetisierungskurve des Permanentmagneten geht, wie der Name schon sagt, nicht durch den Nullpunkt. Sie kann grob durch die Remanenzflussdichte Bo und die Steigung µ_r der Flussdichte über der Feldstärke beschrieben werden.

Der Wert für µ_r war hier nicht gefragt, wenn Du eine Möglichkeit vorstellen möchtest ihn zu bestimmen, dann vielleicht in einem Thread mit Link von hier aus, weil der Thread im Quizforum jeweils geschlossen wird.

Zitat:

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Zitat von frelk

B*H= Volumenbezogene Magnetenergie

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Bei der volumenbezogenen Magnetenergie kommt noch der Faktor 1/2 dazu, wie links davon.
Manfred

Hm, also die Begriffe (z.B. "Volumenbezogene Magnetenergie" sind mir unbekannt. Das Thema ist für mich einfach zu fachspzifisch. Daß ich hier dennoch antworte kommt daher, daß ich mal selbst mich darüber gewundert habe, warum ein von mir an einem Nähfaden aufgehängtes magnetisierter Eisendraht langsam hin und her pendelte. ich habe damals lange gebraucht bis ich auf die Idee kam, daß der Faden ja gedreht ist und so Energie speichert und den Draht pendeln läßt...
Aber das war hier wohl nicht die Frage ;-)

MfG
Georg

Das ist grundsätzlich gut, mit dem Wundern fängt es immer an, sich eine Sache näher anzusehen.

Die Bezeichnung: "...an einem langen dünnen Faden waagerecht aufgehängt..." soll allerdings darauf hinweisen, dass der Faden mit seiner Wirkung auf die Richtung der Magnetnadel hier zu vernachlässigen ist. Die Richtwirkung des Magnetfelds zusammen mit dem Dipolmoment des Magneten bestimmen die Schwingfrequenz.

Bei der hier beschriebenen Kompassnadel wird man bei üblichem Nähgarn schon ab wenigen mm Fadenlänge keinen Einfluß des Faden auf die Schwingfrequenz mehr feststellen können.

Andererseits wäre es sicher auch interessant einmal die Torsionssteifigkeit eines Fadens aus Garn, aus Nylon und einem dünnen Stahldraht in Moment pro Winkel und Länge zu bestimmen. Wie wird man das am besten machen? In einer neuen Aufgabe?
Manfred

Hallo,
Wie gesagt, ich bin nicht Fachmann genug um groß eine Meinung dazu zu haben. Was mir allerdings zu denken gibt, ist, daß dieser Effekt so wenig bekannt ist. 28g sind 28g, die bewegt werden wollen. (Gegen die Anziehungskraft der Pole) ???
Eigentlich sowas wie ein perpetuum mobile? Wenn die Kraft 28g bewegt, dann solte sie auch in der Lage sein z.B. eine Uhr mit ewig anzutreiben...

Blöd, wenn man so ins sinnieren kommt.... hab wohl gerade zuviel Zeit ;-)

Schöne Grüße
Georg

Die 28g pendeln. Sie tun das, weil sie am Anfang bei der Montage nicht im Feld ausgerichtet waren. Beim Aufbau ist also die Energie eingebracht worden.

In anderen Fällen also beispielsweise bei der Magnetresonanztomographie gibt es unterschiedliche Wege die Engegie zum Messen der Resonanz einzubringen. Man bringt die Energie aber ganz gezielt ein.

Man könnte auch alternativ mit der Energie eine Uhr antreiben wenn einem das lieber ist.
Manfred

Hallo Manfred, ich denke ich habe da etwas falsch verstanden. Ich dachte die Pendelbewegung würde bis in die Ewigkeit ohne weitere Energiezufuhr ablaufen. Ich verstehe die Frage ehrlich gesagt nicht. Bitte um Nachsicht.

Gute Nacht!
Georg