Wenn Du das Datenblatt richtig ansiehst, dann bemerkst Du
dass der ULN2002 nicht für TTL-Pegel (0-5V) geeignet ist.
Denn er enthält eine Zenerdiode mit 7V.
Das heisst Du musst den Eingang auf mindestens 10 V anheben
damit der Ausgang schaltet.

Falls Du das Datenblatt nicht hast:
http://www.alldatasheet.com/

Hoffe konnte Dir helfen...