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Thema: berechnen von Winkeln: geometrisch und per Lineare Algebra

  1. #1
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär
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    berechnen von Winkeln: geometrisch und per Lineare Algebra

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    hallo,
    für eine Aufgabe zur Triangulierung möchte ich Winkel berechnen : geometrisch und per Lineare Algebra, komme aber auf verschiedene Ergebnisse.

    Gegeben: x/y Koordinatensystem
    Vektor p von (0,0) nach (1, 0.5)
    Vektor q von (0,0) nach (2, 2)
    Der Winkel dazwischen soll bestimmt werden.

    geometrisch: // <<<< edit: stimmt das, anschaulich bzw. durch ablesen ??
    p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse // <<<<<<<<<<< edit: hier steckt der Fehler!! danke!!
    q 45° zur x-Achse

    also Winkel phi dazwischen:
    phi = 45°-30° = 15° = 0.2618 = pi/12



    per L.A.:

    mit ||.|| = Länge
    <.,.> Skalarprodukt
    px: x-Koordinate von p
    py: y-Koordinate von p

    ist der Winkel zwischen 2 Vektoren definiert per

    cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

    = ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
    = ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
    = ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT(8) )
    = 3 / (1.12*2.828)
    = 3 / 3.17
    = 0.946

    phi = arccos(0.946) = 18.9° = 0.33 = pi/9.52

    ich bin sicher betriebsblind, aber wo?
    Geändert von HaWe (21.05.2020 um 19:14 Uhr)
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  2. #2
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär Avatar von oberallgeier
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    .. p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse .. ich bin sicher betriebsblind, aber wo? ..
    Hmmmm. Betriebsblind nicht, vielleicht in der Skizze . . . Ablesefehler?

    Der Winkel zwischen X-Achse und Vektor-p ist mit Geodreieck: 10 cm, 5 cm ca. 26 ½ Grad.
    Taschenrechner: 5 enter 10 => convert in Polarkoordinaten: 26,5651, 11,1803.
    Oder: atan(0,5) = 26,5651

    Vielleicht einfach ein Ablesefehler beim "kleinen" Vektor. Rest hatte ich nicht mehr gerechnet (zu faul nach dem Essen)
    Ciao sagt der JoeamBerg

  3. #3
    Erfahrener Benutzer Robotik Einstein
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    @oberallgeier

    Du warst schneller und hast recht.

    MfG Klebwax
    Strom fließt auch durch krumme Drähte !

  4. #4
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär
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    stimmt, vielen Dank, jetzt hab ichs auch!
    kA wie ich auf 30° kam....

    atan(0,5) = 26,5651

    Dann wäre
    phi = 45° - 26,565° = 18,435°

    das ist dann immer noch ein Unterschied zu 18,9° nach LA-Skalarprodukt und Längen, aber schon deutlich weniger ...

    - - - Aktualisiert - - -

    und wenn man jetzt noch mit mehr Stellen rechnet, wird es auch per L.A. noch genauer:

    cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

    = ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
    = ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
    = ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT( 8 ) )
    = 3 / SQRT(10)
    = 3 / 3.16228
    = 0.9487

    arccos(0.9487) = 18.432°

    jetzt passt's ! :-D
    Geändert von HaWe (22.05.2020 um 19:46 Uhr) Grund: nochmal vereinfacht
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  5. #5
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär Avatar von oberallgeier
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    .. p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse // <<<<<<<<<<< edit: hier steckt der Fehler!! danke!! ..
    .. phi = 45° - 26,565° = 18,435° .. arccos(0.9487) = 18.432° ..
    Ok, das sind 0,2 (NULL komma ZWEI) Minuten(Gradmaß) : 18°26,1´ gegen 18°25,9´ . . . oder von Oberstdorf nach Hamburg (811 km) ein Fehler von 88 m . . . zwei Digits an der fünften Stelle. Bei soviel Transzendenz in der L.A. ist das (meiner Meinung nach) noch recht beruhigend.
    Ciao sagt der JoeamBerg

  6. #6
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär
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    ja, die letzte Rechnung ist ok, nachdem der Fehler beim Bestimmen des kleineren Vektorwinkels von 30° auf 26,56° verbessert wurde.
    Damit war dann der Unterschied der Winkel zwischen den Vektoren nur noch 18,435° vs. 18.432° bei manuellem Rechnen auf 3 Nachkommastellen mit Taschenrechner. Und wenn man die L.A.-Formel jetzt noch in C mit double programmiert, wird es sicherlich noch genauer.

    Aber vorher (TOP) waren es ja 15° vs. 18.9°, und das war schon erheblich.
    Geändert von HaWe (23.05.2020 um 12:41 Uhr)
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