Sensorfusion mit unterschiedlicher statistischer Fehlerrate

[Holomino]

Wie gesagt, ich gehe da 'nen anderen Weg.

Das Wertbildung über mehrere Sensoren sehe ich gar nicht als so kritisch. Was mich viel mehr bei der Fusion interessiert, ist die systematische Identifikation von Ausreißern und die Bestimmung eines Gütefaktors des so gemeinsam generierten Wertes. Der Wert mag besser sein, aber seine Unschärfe hat er über die Fusion nicht verloren.



Das Bild zeigt mal drei unterschiedliche Fälle, in denen ich nur die Distanz des "besten" Sensors verschiebe. Ohne irgendwelche Ausnahmeregeln oder Thresholds zu definieren, zeigt sich schon über die Summe der Wahrscheinlichkeiten zu einer vermuteten "wahren" Distanz, wie der "genaue" Sensor immer mehr zum Ausreißer wird.

[HaWe]

bei mehreren unterschiedlichen Sensoren kann ja der zuverlässigste Sensor mit 1% Wahrscheinlichkeit auch einen Wert außerhalb von +/- 3 sigma liefern, also bei 1m und sigma=5 z.B. >115
oder mit 5% Wahrsch. (2*sigma) <90 oder >110,
und ein unzuverlässigerer kann durchaus bei 1m und sigma=20 den echten Wert auf den Kopf treffen oder auch bei 95 landen bzw. mit 68% Wahrsch. (1*sigma) irgendwo zwischen 80 und 120.

Nur statistisch wird es sich den echten Verhältnissen auf lange Sicht annähern.
Wenn du also misst, weisst du nicht, wer recht hat, du musst dich auf statistische Funktionen zurückziehen, die mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit den tatsächlichen Wert am besten approximieren.

Ich verstehe jetzt daher noch nicht, wie du die Fälle 1+2 aus dem TOP in "deiner Weise" ausrechnen willst, anders als mit einem per "Vertrauenskoeffizienten" gewichteten Durchschnitt?

[Holomino]

Angenommen ich habe Deine drei Messwerte von ganz am Anfang.
- Ich nehme rein intuitiv eine reale Distanz an, z.B. 90cm.
- Ausgehend von diesen 90cm berechne ich über die Gaussfunktion für den ersten Sensor die Wahrscheinlichkeit aus (Standardabweichung = 90cm * Variationskoeffizient, Messwert ist direkt angegeben).

private double NormalizedGaussFromValue(double value, double average, double stdDeviation)
        { 
            return  Math.Exp(-0.5 * Math.Pow((value - average) / stdDeviation, 2)) 
                        / (Math.Sqrt(2*Math.PI) * stdDeviation);
        
        }

        private double EqualizedGaussFromValue(double value, double average, double stdDeviation)
        {
            return Math.Exp(-0.5 * Math.Pow((value - average) / stdDeviation, 2));
        }

value ist der Messwert
average ist der angenommene Scheitelpunkt der Kurve
stdDeviation ist die Standardabweichung


- Das mache ich einmal für die normalisierte Form (Integral der Glocke ist 1) und einmal für die egalisierte Form (Scheitelwert ist 1. Merke, der Scheitelwert wird nur durch den Bruchnenner normalisiert).

- Das gleiche rechne ich auch für die anderen beiden Sensorwerte aus.
- Summiere ich die Wahrscheinlichkeiten der drei Sensoren für die angenommene Distanz auf, bekomme ich eine normalisierte und eine egalisierte Gesamtwahrscheinlichkeit für die Annahme, dass meine Distanz real bei 90 cm liegt. Aber die Frage stellt sich: Wird dieser ermittelte Wert besser, wenn ich eine andere Distanz als realen Wert annehme?
- Also tickere ich alle möglichen Distanzen einmal durch und schaue, wo Maxima in den Kurven liegen (Kreuzkorrelation).

Die egalisierten Werte machen dabei die einzelnen Komponenten der Wahrscheinlichkeitssumme der drei Messwerte vergleichbar. Wo hier in der Kurve das Maximum zu finden ist, sollte sich mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auch der reale Distanzwert befinden.

Der normalisierte Wert dient zur Abschätzung, welche Streuung das Ergebnis hat. Er zeigt im Vergleich zu den normalisierten Scheitelpunktwerten der Glockenkurven einzelner Sensoren die Qualität oder die Streuung.

(So ganz im Reinen bin ich mir da mit dem letzten Vergleich aber auch noch nicht. Der will noch nicht so, wie ich's erwarte.)

[HaWe]

- Ich nehme rein intuitiv eine reale Distanz an, z.B. 90cm.
- Ausgehend von diesen 90cm berechne ich über die Gaussfunktion

nein, du kannst keine reale Distanz annehmen, da du sie absolut nicht kennst!
du (und ich) haben keine Ahnung, rein keinen blassen Schimmer, was "da draußen" los ist,
wir haben nur die Sensoren und ihre Messwerte, mit bekannter Messgenauigkeit.

Der "reale Wert" kann Lichtjahre von den Messwerten entfernt liegen, und du kannst ja auf nem Arduino nicht schrittweise alle denkbaren Entfernungen per Gausskurve durch die gesamte Galaxis durchrechnen, und dann noch für 3,4,5,6 oder mehr Sensoren, und du hast von jedem Sensor auch nur genau 1 aktuellen Messwert.
(klar, das mit den Lichtjahren ist übertrieben, aber mit 3 Sensorwerten kann schon der gesamte Bereich von 5 bis 150cm abgedeckt werden!)

Beschränken wir uns aber jetzt auf die Fälle 1+2, wie genau sähe deine mathematische Berechnung aus (Arduino/AVR-kompatibel)?
analog schrittweise wie hier berechnet:
https://www.roboternetz.de/community...l=1#post646322

- und wie lauten deine Ergebnisse für Fälle 1+2 als ausgerechnete Zahlen?

- dann könnte man dein Verfahren mal gut mit meinem bisherigen nach Aufwand und Ergebnis vergleichen.

[Holomino]

nein, du kannst keine reale Distanz annehmen, da du sie absolut nicht kennst!
du (und ich) haben keine Ahnung, rein keinen blassen Schimmer, was "da draußen" los ist,
wir haben nur die Sensoren und ihre Messwerte, mit bekannter Messgenauigkeit.

Natürlich kann ich das.
Das nennt man Hypothese. Über die Kreuzkorrelation testet man systematisch alle möglichen Hypothesen gegeneinander. Die beste Hypothese davon verspricht die größte Genauigkeit der Übereinstimmung. Wobei hier "Genauigkeit der Übereinstimmung" die größte Wahrscheinlichkeit darstellt, dass die hypothetische Distanz wirklich der realen Distanz entspricht.

[HaWe]

dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

[Holomino]

Der "reale Wert" kann Lichtjahre von den Messwerten entfernt liegen, und du kannst ja auf nem Arduino nicht schrittweise alle denkbaren Entfernungen per Gausskurve durch die gesamte Galaxis durchrechnen, und dann noch für 3,4,5,6 oder mehr Sensoren, und du hast von jedem Sensor auch nur genau 1 aktuellen Messwert.
(klar, das mit den Lichtjahren ist übertrieben, aber mit 3 Sensorwerten kann schon der gesamte Bereich von 5 bis 150cm abgedeckt werden!)

Das würde alleine durch die Anzahl der Maxima (3!) in der Reihe der Hypothesen auffallen...

… und kann auch gleich als Fehlmessung im Orkus verschwinden.

[HaWe]

wie gesagt, dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

(Bei Arduino gibts übrigens auch keine Klasse Math, und deine Graphen habe ich auch nicht bei Arduino zur Verfügung, aber du kannst ja die echte mathematische Formel dafür hinschreiben;

edit: übrigens auch bei einer Fehlmessung eines oder zweier Sensoren brauche ich aber irgendein Ergebnis, eben das wahrscheinlichste.)

[Holomino]

wie gesagt, dann rechne es doch bitte mal vor, Schritt für Schritt, was kommt dann zahlenmäßig raus?

Kein Problem! Du findest im Log sämtliche relevanten Eingangswerte, Zwischenergebnisse sowie die übers Maximum bestimmten Bestfit-Werte

==========================================
Sensor1  Dist: 0120 rel. deviation: 0,20
Sensor2  Dist: 0100 rel. deviation: 0,10
Sensor3  Dist: 0090 rel. deviation: 0,05
==========================================
Hypothetic dist:90 (dev1: 18,00  dev2: 9,00  dev3: 4,50)-->Norm.: 0,1181  Eq.: 1,7888
Hypothetic dist:91 (dev1: 18,20  dev2: 9,10  dev3: 4,55)-->Norm.: 0,1186  Eq.: 1,8703
Hypothetic dist:92 (dev1: 18,40  dev2: 9,20  dev3: 4,60)-->Norm.: 0,1154  Eq.: 1,9092
Hypothetic dist:93 (dev1: 18,60  dev2: 9,30  dev3: 4,65)-->Norm.: 0,1095  Eq.: 1,9141
Hypothetic dist:94 (dev1: 18,80  dev2: 9,40  dev3: 4,70)-->Norm.: 0,1019  Eq.: 1,8962
Hypothetic dist:95 (dev1: 19,00  dev2: 9,50  dev3: 4,75)-->Norm.: 0,0937  Eq.: 1,8661
Hypothetic dist:96 (dev1: 19,20  dev2: 9,60  dev3: 4,80)-->Norm.: 0,0857  Eq.: 1,8325
Hypothetic dist:97 (dev1: 19,40  dev2: 9,70  dev3: 4,85)-->Norm.: 0,0784  Eq.: 1,8014
Hypothetic dist:98 (dev1: 19,60  dev2: 9,80  dev3: 4,90)-->Norm.: 0,0722  Eq.: 1,7758
Hypothetic dist:99 (dev1: 19,80  dev2: 9,90  dev3: 4,95)-->Norm.: 0,0670  Eq.: 1,7562
Hypothetic dist:100 (dev1: 20,00  dev2: 10,00  dev3: 5,00)-->Norm.: 0,0628  Eq.: 1,7419
Hypothetic dist:101 (dev1: 20,20  dev2: 10,10  dev3: 5,05)-->Norm.: 0,0594  Eq.: 1,7309
Hypothetic dist:102 (dev1: 20,40  dev2: 10,20  dev3: 5,10)-->Norm.: 0,0565  Eq.: 1,7213
Hypothetic dist:103 (dev1: 20,60  dev2: 10,30  dev3: 5,15)-->Norm.: 0,0541  Eq.: 1,7112
Hypothetic dist:104 (dev1: 20,80  dev2: 10,40  dev3: 5,20)-->Norm.: 0,0519  Eq.: 1,6993
Hypothetic dist:105 (dev1: 21,00  dev2: 10,50  dev3: 5,25)-->Norm.: 0,0499  Eq.: 1,6845
Hypothetic dist:106 (dev1: 21,20  dev2: 10,60  dev3: 5,30)-->Norm.: 0,0480  Eq.: 1,6666
Hypothetic dist:107 (dev1: 21,40  dev2: 10,70  dev3: 5,35)-->Norm.: 0,0461  Eq.: 1,6453
Hypothetic dist:108 (dev1: 21,60  dev2: 10,80  dev3: 5,40)-->Norm.: 0,0442  Eq.: 1,6209
Hypothetic dist:109 (dev1: 21,80  dev2: 10,90  dev3: 5,45)-->Norm.: 0,0423  Eq.: 1,5939
Hypothetic dist:110 (dev1: 22,00  dev2: 11,00  dev3: 5,50)-->Norm.: 0,0404  Eq.: 1,5647
Hypothetic dist:111 (dev1: 22,20  dev2: 11,10  dev3: 5,55)-->Norm.: 0,0386  Eq.: 1,5339
Hypothetic dist:112 (dev1: 22,40  dev2: 11,20  dev3: 5,60)-->Norm.: 0,0368  Eq.: 1,5019
Hypothetic dist:113 (dev1: 22,60  dev2: 11,30  dev3: 5,65)-->Norm.: 0,0351  Eq.: 1,4694
Hypothetic dist:114 (dev1: 22,80  dev2: 11,40  dev3: 5,70)-->Norm.: 0,0334  Eq.: 1,4366
Hypothetic dist:115 (dev1: 23,00  dev2: 11,50  dev3: 5,75)-->Norm.: 0,0318  Eq.: 1,4039
Hypothetic dist:116 (dev1: 23,20  dev2: 11,60  dev3: 5,80)-->Norm.: 0,0302  Eq.: 1,3715
Hypothetic dist:117 (dev1: 23,40  dev2: 11,70  dev3: 5,85)-->Norm.: 0,0288  Eq.: 1,3398
Hypothetic dist:118 (dev1: 23,60  dev2: 11,80  dev3: 5,90)-->Norm.: 0,0274  Eq.: 1,3088
Hypothetic dist:119 (dev1: 23,80  dev2: 11,90  dev3: 5,95)-->Norm.: 0,0261  Eq.: 1,2787
Hypothetic dist:120 (dev1: 24,00  dev2: 12,00  dev3: 6,00)-->Norm.: 0,0249  Eq.: 1,2494
Normalized optimal probability 0,119 at distance 91
Equalized optimal probability 1,914 at distance 93
==========================================

Soll ich Dir die Zwischenschritte jetzt noch mit nem Taschenrechner herleiten oder schaffst Du den Rest selbst?

(Bei Arduino gibts übrigens auch keine Klasse Math, und deine Graphen habe ich auch nicht bei Arduino zur Verfügung, aber du kannst ja die echte mathematische Formel dafür hinschreiben;

Das Bild hast Du selber aus Wikipedia in einem Deiner vorherigen Posts kopiert. Die Formel darunter hast Du nicht gesehen? Such noch mal Dichtefunktion im rechten Kasten bei https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung. Neben KlickiBunti-Bildern bekommt man da auch ne Funktion, die Dir für ein x bei gegebenem Sigma und µ den Wert der Kurve zurückgibt. (Das y= oder f(x)= davor musst Du Dir allerdings denken.)

edit: übrigens auch bei einer Fehlmessung eines oder zweier Sensoren brauche ich aber irgendein Ergebnis, eben das wahrscheinlichste.)

Nein, wenn Du jemals ein fehlertolerantes System programmiert hast, dann kommst Du zu der Erkenntnis, dass Du das nicht brauchst. Da sind unplausible Messergebnisse genauso zu behandeln, wie fehlerhafte Eingangsparameter einer Funktion. Die fängt man ab.

[Moppi]

Ich versuche es noch mal. Anhand meines Beispiels. Ob die Toleranzen jetzt so von HaWe gemeint sind oder nicht. Ist ja erst mal egal. Wichtig ist, ich habe 3 Sensoren mit Streuung der Werte. Ich denke, in dem Beispiel kann man das Streuung oder Toleranz nennen, man kann es auch Messfehler nennen. Meint für mich erstmal dasselbe: gemessene Werte befinden sich innerhalb gewisser Grenzen. Bei einem Sensor kann der Wert bis zu 20% betragen, bei Anderen weniger. Es könnte auch passieren, dass die Werte von den Sensoren teils außerhalb dieses Rahmens liegen. Diese Werte könnte man sicher irgendwie rausfiltern, da man 3 Sensoren hat, die man vergleichen kann. Fällt der Wert eines Sensors damit raus, hat man nur noch die Werte zweier Sensoren. Fallen 2 Werte raus, hat man nur noch einen Sensorwert. Man müsste sich hier entscheiden, auf welchen man sich am meisten verlassen kann, bzw. welchem man "vertraut" um den kleinstmöglichen "Schaden" anzurichten. Mit Schaden meine ich, dass man sich bei einem Entfernungssensor lieber einen größeren Wert berücksichtigt, als einen kleineren, damit es nicht zur Kollision kommt, falls dass das Ziel sein sollte. Es kann auch andere Ziele geben, bei denen die Werte anders gewichtet würden.

1. Messung: 100cm, Fehler: +/-20%
2. Messung: 110cm, Fehler: +/-10%
3. Messung: 90cm, Fehler: +/-5%

Mittelwert aller Messungen: 100cm, Fehler über alle: +/-11.7% (tatsächliche Entfernung: 88.3cm bis 117cm).

Den dritten Sensor würde ich als am verlässlichsten einstufen, weil der die geringste Streuung hat. Sensor 3, 3.Messung, tatsächliche Entfernung: 85.5cm bis 94.5cm, weil Fehler: +/-5%.

Jetzt könnte man das eindämmen. Ich denke hier, dass ich für eine möglichst genaue Messung, versuche den Wert zu finden, der dem Mittelwert am nächsten kommt, aber irgendwie auch wahrscheinlich ist. Ich müsste mich also mit meiner Betrachtung auf die 100cm zu bewegen.

Frage, was ist der unterste Grenzwert, den ich annehmen könnte? Hier kommt es drauf an, welche Gewichtung ich ansetze: verlasse ich mich auf eine Mittelung der Werte aller Sensoren oder nur auf einen einzigen Sensor?
Ich habe mich für den unteren Grenzwert für die Mittelung entschieden:

Der untere Grenzwert ist wohl: 88.3cm.

Beim oberen Grenzwert muss man sich auch überlegen, was einem wichtig ist. Daher habe ich mich für den Wert entschieden, der mir der 3. Sensor garantiert:

Der obere Grenzwert ist wohl: 94.5cm.

Frage, warum ich mich so entschieden habe?
Ich versuche, den genauesten Wertebereich zu treffen, in welchem sich der tatsächliche Entfernungswert befinden könnte. Deshalb habe ich die Werte gewählt, die meinem Ziel (dem errechneten Mittelwert der Daten, der 3 Sensoren) am nächsten liegen. Deshalb 88.3 und 94.5.

Allerdings ist in diesem Beispiel kein genauer Wert zu errechnen, ich treffe nur eine Aussage und entscheide mich indirekt damit für einen Wert, der dem idealen Wert nicht entsprechen muss.

Wobei ich ehrlich sagen muss, dass ich den Sinn von Anfang an nicht ganz verstehe. Eine Sensorfusionierung, also ganz einfach gesagt: das Zusammenführen verschiedener Daten zu einem Gesamtbild und damit zu einem momentan endgültigen Ergebnis, setzt nach meinem Verständnis immer voraus, dass man die Umgebungsbedingungen, die Anforderungen an das Ergebnis (Gewichtung der Daten) und die Sensoren, speziell für eine Aufgabe festlegen muss. Für eine Entferungsmessung könnte ich mir vorstellen: Mediumdruck, Mediumdichte, Mediumtemperatur, Sensortemperatur etc... Würde man alles einkalkulieren was irgend denkbar ist, hätte man vermutlich einen fast 100%ig sicheren Wert, nach Fusionierung.

Um das jetzt zu entkomplizieren wäre hier auch die Frage: warum verlässt man sich nicht auf den Sensor mit der geringsten Streuung der Messwerte, wenn alle drei Sensoren dieselbe Min-/Max-Entferung abdecken? Dann kann man 3 dieser Sensoren oder auch 5 dieser Sensoren mit geringer Streuung wählen und mit diesen Sensordaten eine vernünftige Aussage treffen. Oder man verwendet gleich eben nur einen Sensor und geht das Ganze anders an.

Alle komplexen Formeln, die man gefunden hat und die sich bewährt haben, stellen auch immer Anforderungen. Es gibt Bedingungen an die Sensoren und die Umgebung, damit diese Formeln einen Wert auswerfen, der ziemlich verlässlich ist.


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Wenn man davon ausgeht, dass die drei Sensoren normal messen und eine gewisse Streuung haben (idealerweise gleichmäßig, um den idealen Messwert herum), so nimmt man wohl den Mittelwert aller drei Sensorergebnisse und ist fertig.

Misst ein Sensor 110cm, bei einer max. Streuung von +/-10%, so liegt das Ergebnis im Bereich 99cm bis 121cm. Um also genauere Werte zu errechnen, benötigt man weitere Daten der Messung bzw. Messumstände und die Kenntnis, wie sich dies auf die Sensorgenauigkeit auswirkt. Nach Fusionierung erhält man dann einen genaueren, berechneten Wert.
Mit Pech liegen auch alle drei Sensoren daneben, weil allen drei Sensoren dieselbe Störung zugrunde liegt.

Fazit: Wenn ein Sensor mit der Messung zum Beispiel 1cm über dem tatsächlichen Wert liegt, der Zweite Sensor 1cm darunter und der Dritte 2cm darunter, wie kommt man dann mit irgendeiner Formel dieser Welt dem tatsächlichen Wert am nächsten, wenn keine weiteren Umstände bekannt sind? Antwort: gar nicht. Warum? Antwort: weil man nicht weiß, welcher Sensor gerade welche Ungenaugkeit bei der Messung aufweist. Für den - in dem Fall - wahrscheinlichsten Wert, nimmt man das Mittel aller drei Sensorergebnisse, um sich dem idealen Messwert zu nähern. Mehr geht hier nicht. Je mehr Messungen oder Sensoren man hat, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass das Mittel aller Werte dem Idealwert möglichst nahe ist.

Einen genaueren Messwert kann man ableiten, wenn man zuvor Vergleichsmessungen machte. Was HaWe ja schon getan hat, um zu sehen, wieviel die Sensoren ca. streuen. Das allein reicht aber nur aus, um die Toleranz des Ergenisses, in Bezug zur Entfernung zu kennen. Ohne weitere Messreihen lässt sich nichts Genaueres ableiten. HaWe hat ja nur ermittelt, weiviel die Sensoren im gesamten Messbereich (von ..cm bis ..cm) vom idealen Wert abweichen können. Je mehr Messreihen man hat, die unter verschiedenen Bedingungen gemacht wurden, je genauer kann man eine endgültige Formel aufstellen. Hier brauchts dann aber wahrscheinlich wieder weitere Sensoren, um die Bedingungen während der Messung zu erfassen. Dann kommt man zur Sensorfusionierung und kann den nun einmalig gemessenen Wert ziemlich exakt einschätzen und letztlich auf einen genaueren Wert schließen.