Mit einem 555 wird das nicht so ohne weiteres gehen.
Erstell erst mal mit einem 555 ein retriggerbares Monoflop.
Der Ausgang geht beim Start von OFF auf ON (je nach Spannung die verwendet wird z.B. von 0V auf 5V).
Und bei Ablauf der Zeit auf ON auf OFF.
Retriggerbar heist, das wenn innerhalb der ON-Zeit ein neuer Startimpuls kommt der Timer zurückgesetzt wird und die ON-Zeit entsprechend länger wird.

Danach nimmt man ein Latch (Flankengesteuertes Flip Flop) bei jedem Wechsel (OFF nach ON oder ON nach OFF) wird der Ausgang des Latch von OF auf ON gesetzt.
Jetzt benötigt man eine Verzögerungskette (das kann ein zweiter 555 sein) die nach einer Sekunde das Latch zurücksetzt.

So bekommt man ein paar Nanosekunden nach dem Auslösereigniss einen 1S Puls und am Ende der eingestellten Zeit einen zweiten 1S Puls.
Wobeoi man die Länge des Pulses der beim Flankenwechsel auftritt auch einstellen kann wenn er nur kürzer ist als die kürzeste Zeit des ersten Monoflops.