Im Prinzip hast du nichts übersehen aber nicht ganz korrekt dargestellt:
Steckdose --> Wandler AC/DC --> Ladelelektronik --> Akku --> Wandler DC/AC --> PC-Netzteil - PC
Gerade die beiden Wandler haben es in sich. Aufgrund der Leistung die benötigt wird sind hier entsprechende teure und robuste IGBT-Module notwendig. Hinzu kommt dann - und hier sprech ich eben aufgrund meiner Berufserfahrung in dem Bereich - ein ganzer Satz an Kondensatoren. Filter, Glätten, Puffern all diese Funktionen müssen durch geeignete Kondensatoren erfüllt werden. Hier kommt wieder die Leistung zum tragen, d.h. mal eben ein paar Wald und Wiesen Elkos nutzen bringt gar nichts. Wir reden hier von Kondensatoren ab 5€.
Gekaufte Systeme wurden in der Regel umfangreich getestet und sind entsprechend abgesichert. Viel günstiger dürfte ein vernünftiger Eigenbau auch nicht sein.

Bei 24h wird in der Regel kein Akku verwendet (dafür benötigt man einfach zu viel Platz). Kurz gerechnet:
200W = 230V * 0,86A, rechnen wir zu Sicherheit mit 1A, dann benötigt man wohl 24Ah, handelsübliche Auto-Batterien haben bis zu 36Ah, soweit gut. Aber bei 12V benötigt man mindestens 20 Stück in Serie um auf 230V zu kommen.