Ebene in Punktewolke mathematisch einpassen

[Picojetflyer]

Eine erste Idee (zum Einstieg) in die Berechnung einer Ebene E die am besten zur Punktwolke p(i) passt.
Grundidee: E wird durch ca. die Hesseform bestimmt. Die Hesseform benötigt einen Punkt p0 (hier einfach mal aus E) und einen Normalenvektor v0.
1) Für p0 wird einfach das Zentrum (Mittelwert aller p(i)) Deiner Punktwolke genommen.
2) Auch v0 wird durch eine Mittelwertbildung bestimmt. v0 ist der Mittelwert der Kreuzprodukte v(i)=(a x b) der Vektoren a und b. Mit a=(p(i)-p0) und b=(p(j)-p0). Dabei liegt p(j) möglichst "links" von p(i).

Ja ich ermittele die Ebene mit der Hesseform. Mit einer Mittelwerten hab ich bereits experimentiert. Mein Ergebnis lag schon nahe an der Referenz, nur für eine ernsthafte Anwendung war das Ergebnis doch noch zu ungenau. Aber das Stichwort mit den "Zentrum" greife ich nochmal auf. Ich glaube da könnte mein Bock liegen.

Hi Matthias.
Zum schicken Vorschlag von rossir einen Denkanstoß: ne Geradenanpassung optimiere ich nach der Kleinste-Quadrate-Methode, da denke ich, dass ich die Ebene mit ner Kleinste-Kuben-Methode anpasse. Hab ich selbst noch nie gehört, liegt aber auch ziemlich abseits meiner Tätigkeiten.

Genau daran bin ich auch schon hängen geblieben. Für eine Gerade ist das genau das was ich suche. Nur wie interpretiere ich das auf eine Ebene. Google oder Wikipedia bietet da ganz wilde Formeln. Nur für mich als Nicht-Studierten habe ich da noch keine Lösung drin gefunden.

Das ganze soll später, eine Auswertemöglichkeit für eine messtechnische Ebenheit werden. Ein Werker ermittelt mittels einer Messuhr, Messwerte in Z Richtung an einen Werkstück. Diese trägt er in einer Excel-Tabelle ein, die Ihn dann, direkt die messtechnisch korrekte Ebenheit ausrechnet. Die Koordinaten in X und Y sind in der Tabelle hinterlegt.