Der ULN2003 hilft nur relativ wenig.

Für fast 6 A ist der IRL520 definitiv zu klein selbst mit Kühlung. Ganz ohne etwas Kühlung wird aber auch dann schwer, bzw. der MOSFET recht groß. Wenn man dem MOSFET etwa 1 W an Verlustleistung zubilligt, dürfte der Spannungsabfall etwa 150 mV betragen bzw. der Widerstand noch etwa 20 mOhm. Das braucht auch schon einen recht großen MOSFET - mit 3,3 V Gatespannung wird es schon nicht so einfach und man müsste ggf. 2 oder 3 parallel nehmen.

Hier ein paar Möglichkeiten:
1) 2 bis 4 Stück IRLML6344 parallel. Das ist eine kleine SMD Bauform, und braucht eine Platine als Kühlung.
2) 2 mal IRF7401 (SO8 Gehäuse) - auch hier wird man wohl eine Platine brauchen.
3) ein Gate Treiber ICL7667 und dann ein richtig großer MOSFET wie IRL1004 oder IRF3708 oder IRLU8721(da reichen auch 5 V) oder IRF1404 (bräuchte 12 V)
Für 5 V würde wohl auch ein billiges Logic IC wie 74HCT04 als "Treiber" reichen. Bei mehr MOSFETS parallel muss jeder einen eigenen Widerstand am Gate (z.B. 50 Ohm) haben.