GND ist das Bezugpotential also 0V(halt 12V weniger als +12V), bzw. das - von der Batterie(dem Trafo).
Da sie mit Akku also mit 12 volt DC läuft hab ich das ding an eienen 12V-DC-trafo gehängt.
Du meinst keinen Trafo sondern ein Netzteil mit Trafo, Gleichrichter und Kondensator(wenn du wirklich nur einen Trafo meinst, kann da kein DC 'rauskommen.).

Unter REM kann ich mir auch nix vorstellen.