Die Darlingtonschaltung ist jetzt richtig, aber der Kopfhöhrerausgang gibt ein Wechselspannung aus, und damit würde der Transistor nur zeitweise einschalten. Um sicher einzuschalten braucht es schon eine Schaltung mit einer Art Gleichrichtung und Puffer.
Bei geringer Lautstärke ist ggf. auch die Spannung nicht ausreichend, denn die Darlingtonschaltung braucht etwa 1,4 V zum ansteuern.

Da mit wenig Leistung geschaltet werden soll, wäre ggf. ein MOSFET (z.B. IRLML2030 oder ähnliches) mit sehr geringer Schaltschwelle eine Alternative. Allerdings braucht man auch da noch einiges dazu, um mit Wechselspannung zu schalten und eine etwas höhere Spannung zu erzeugen. Das könnte z.B. ein kleiner Transformator (mit Ferritekern), ein Gleichrichter und dann eine Art Schwellwertschaltung sein, die erst bei einer definierten Spannung von z.B. 3 V einschaltet. Als Alternative zum Trafo ginge ggf. auch noch eine Spannungsverdopplerschaltung mit Dioden und Kondensatoren.