Er hat 10 Pins als Ausgang. Diese Pins heißten "0" - "9". Und einen Pin als Eingang. Dieser Pin heißt "CLK".
Wenn das IC mit Spannung versorgt wird steht der interne Zähler auf 0 und die Pins 1-9 sind alle auf 0V oder Low. Einzigst der Pin der "0" heißt ist auf High (weil der interne Zähler auf 0 steht)
So nun wartet das IC darauf das am CLK Eingang ein Impuls kommt. Dieser Impuls kommt z.B. von einem Taster oder wie in deinem Beispiel von dem Multivibrator. Woher der Impuls kommt ist auch erstmal nicht wichtig.
Im Ruhezustand ist der CLK Pin die ganze Zeit auf einem Low-Pegel. Wenn dieser Pegel nun auf High wechselt, also eine steigende Flanke auftritt, wird der interne Zähler um 1 erhöht. Er steht also auf 1. Das heißt das der High Pegel am Pin "0" auf Low wechselt und der Pegel am Pin "1" auf High wechselt. Beim nächsten Impuls zählt der Zähler wieder um 1 weiter und steht damit auf 2. Nun wechselt der Pegel von "1" von High nach Low und der Pegel von "2" von Low nach High.
Somit ist immer der auf High der zum dementsprechenden Zählerwert gehört.

Das ist die Funktion vom IC (ganz einfach erklärt).