In der Schaltung sollten die Widerstände an die Seite mit den ULN2803, nicht zu den großen FETS. Bei nur einer Ebene macht das noch nichts, aber für den ganzen Würfel braucht man sonst für jede LED einen Widerstand.

Als Alternative zum ULN2803 und Schieberegister gibt es von Texans Instruments auch Schieberegister ICs die gleich mehr Strom (z.B. 100 mA) liefern können. Die ULN2803 sind aber schon relativ billig. Bei den FETs für die High Side gibt es auch andere als die IRF7314. Viel günstiger wird es vermutlich nicht, denn die IRF7314 passen schon ganz gut für Ströme bis etwa 5 A.
Die UDN... sind eher keine so gute Lösung, denn da verliert man nochmal extra etwa 1,5-2 V an Spannung. Je nach LED wird es dann schon knapp mit 5 V als Versorgung.

Die kleinen Falchbandkabel sollten gut 1 A vertragen, wenn nicht viele Adern gleichzeitig genutzt werden. Ist dann aber auch eine Frage der Umgebung, und wie heiß man es toleriert.