Das Signal zum Senden kann der µC auch direkt erzeugen, entweder per PWM oder notfalls auch durch Verzögerungen in Software. Den NE555 könnte man da eventuell noch als Treiber gebrauchen. Die US Kapsel gleich als Resonator mit zu nutzen wird hier nicht gehen, weil man so keinen schnellen Anstieg bekommt, sondern ein eher langsames Anschwingen.

Eine Gleichrichtung braucht man nicht - den Anfang des Signals bekommt man direkt aus dem Signal. Welche Polarität passt muss man ggf. Probieren.
Was eventuell hilfreich ist, ist eine von der Zeit abhängige Verstärkung, um das mit dem Abstand abnehmende Signal zu kompensieren. Das geht aber eher mit einem Transistor als Verstärker, nicht so gut mit einem OP. Im RN-Wissen-bereich ist da ein guter Artikel zum US Empfänger.