Ansonsten gibt es auch kleine Elektronische Wandler für z.B. Halogenstrahler, die würden auch passen..
Die wollen aber meist eine Mindestlast von etwa 20W, sonst wird der Ausgang abgeschaltet (Schutzmechanismus).

Was steht denn sonst noch auf dem Trafo? Und welche Stromstärke / welche Leistung benötigt deine LED-Lampe bei 12V?

Hinter den Brückengleichrichter würde ich noch einen Elko zum Sieben einbauen. Dahinter entweder ein Vorwiderstand oder eine Konstantstromquelle, um den Strom durch die LEDs zu begrenzen.
Denke auch noch an eine Sicherung sowie ausreichende Isolation der Primärseite.
Schon an eine mechanische Befestigung des Trafos gedacht? Platine & Gehäuse?

Grüße, Bernhard