Die 20mA/3,1 V für die LEDs könnten richtig sein (schöner wäre es, man hätte ein Datenblatt).
Was man unbedingt machen sollte: jeder LED ihren eigenen Vorwiderstand verpassen. Grund: die 3,1 V sind nicht sehr genau, bei jeder LED etwas anders und ausserdem mit starkem negativen Temperaturkoeffizient. Das heisst in der Praxis, das sich bei Deiner Schaltung die Ströme ungleich über die LEDs verteilen, die, die am meisten Strom zieht wird am wärmsten und bekommt dadurch noch mehr Strom und geht recht bald kaputt. Für die verbliebenen Drei ist der Vorwiderstand zu klein, also stirbt bald der Rest auch schnell.

Also: jede bekommt ca. 100 Ohm (gerechnet: 95 Ohm) verpasst.
Transistor: Ich beziehe mich auf das von Conrad D verlinkte Datenblatt:
http://www.produktinfo.conrad.com/da...n-BC337_25.pdf
Wir rechnen mit einem Kollektorstrom von ca. 80 mA. Figur 4 zeigt uns, dass wir einen Basisstrom von etwa 2 mA (bei Kollektorstrom = 100 mA) brauchen, damit die Restspannung zwischen C und E < 0,1 V wird. Es schadet nichts, wenn man auf 5 mA geht (die Streuungen bei den Halbleitern sind viel größer als die feinen Diagrammlinien im Datenblatt glauben machen wollen). Ich rechne bei Si-Transistoren generell mit ca. 0,6 bis 0,7 V für die Basis-Emitterspannung, die im Datenblatt aufgeführten 1,2 V erscheinen eher unrealistisch (ist auch ein Maximalwert). Basiswiderstand an (5V-0,7V)/5mA=860 Ohm. Gewählt wird irgendetwas im Bereich von 680 Ohm bis 1 kOhm, die Fig. 4 zeigt ja, dass sich da am Ausgang nicht viel tut. Es kommt also etwas ähnliches raus wie bei der von Dir gewählten Rechenmethode.


edit: naja, da war ich mal wieder bloß der drittschnellste.