Wirklich nahe 0 V kommt der LM324 nur, bei wenig Strom (unter ca. 20-40 µA , wenn ich mich richtig erinnere) am Ausgang. Ein bisschen kann man sich ggf. mit einem Widerstand vom Ausgang nach GND helfen.

Die 4-fach OPs haben zu Glück fast alle die gleiche Pinbelegung.

Ein alternativer echter Rail-Rail OP wäre ein TS914. Die geringere Maximale Spannung sollte hier noch nicht stören.
Eingeschränkt geht auch der günstigere TLC274 - da können aber nicht gleichzeitig Eingang und Ausgang nahe GND sein.