Mach mal eine Brücke zwischen TxD und RxD auf der Controllerseite des Moduls rein und gib dem Modul 5V ohne einen Controller anzuschließen.
Nun kannst Du mit einem Terminalprogramm beliebigen Text zu dem Schnittstellenadapter senden.

Wenn das läuft ist das Modul soweit i.O.

Gib dann dem Controller wirklich einen Quarz. Eventuell ist der interne Taktoszillator tatsächlich so weit von den Sollwerten entfernt, das es auch bei der geringen Baudrate nicht geht.

Ausserdem ist der interne Oszillator stark Temperaturabhängig.