Wenn du eine Brücke zwischen Rx und Tx machst und im Terminalprogramm einen Buchstaben drückst, muss dir der Buchstabe angezeigt werden, wenn das Modul funktioniert.
Und der Grund warum das mit dem µC nicht funktioniert, kann wie schon erwähnt, der interne RC-Oszilator sein. Du darfst für RS232 nur eine bestimmte Toleranz haben und wenn schon der Takt vom Controller nicht genau ist (z.B. weil die Temperatur schwankt) dann stimmt auch der "Baudratengenerator" im Controller nicht.
Und hast du mal probiert ob eventuell Rx und Tx vertauscht sind?