Das mit den Anführungszeichen ist so ne Sache. Normalerweise verwendet man < und > wenn es sich in der Header in den Standardbibliotheken befindet.
Bei asuro.h ist es Ansichtssache ob man es als Standard-Header sieht oder nicht.

Mit Avr-Studio hab ich fast keine Erfahrung, da ich Linux benutze, aber ich kann mir vorstellen, dass die header-Datei sich nicht im include-pfad befindet.
Auf deinen Screenshots sehe ich das die richtige datei gelinkt wird, allerdings finde ich in deinem Makefile nicht wo "$(INCLUDES) " definiert wird, was darauf hindeutet das eben die asuro.h nicht eingebunden wird.

EDIT: Ich vermute, dass das AVR-studio die direkt über die kommandozeile hinzufügt.
hast du schon mal versucht die Asuro-Bibliotheken auf die gleiche Partition zu kopieren wie die WinAvr Installation?

LG