Die HC595 haben zwar 35 mA als absolute maximum rating für die Ausgänge, aber 1. ist nicht garantiert das die selbst im Kurzschlußfall so viel Strom liefern. Bei 3.3 V versorgung wäre das schon eher die Ausnahme. Zweitens ist das noch ein Limit von 70-75 mA für den gesamten Chip. Das Limit sind damit ca. 8-9 mA pro Ausgang.

Für die LEDs sind auch 5 V gar nicht verkehrt:
die blaue LED wird 3-3,5 V brauchen, dann ca. 500 mV Verlust für den HC595 und gut 1 V für den ULN2003. Da ist dann nurnoch 0,5 V für den Widerstand übrig. Weniger geht also kaum. Bei nur einer LED Farbe und Treibern aus der gleichen Charge könnte man gar auf die IDEE kommen den Strom über die Spannung an den HC595 (ca. 4,5 V) einzustellen. geht hier aber nicht.

Bei superhellen LEDs kann es gut sein das es auch mit dem Strom von nur 8 mA geht, hängt aber von den Randbedingungen ab !. Es gibt zum Teil auch Schieberegister ähnlich dem HC595, die mehr Strom vertragen können (z.B. STP16CL596).
Bei mehr Strom für die Ebenen wären MOSFETs statt des ULN möglich. Bis etwa 5 A könnte man die wohl auch noch direkt von µC Pin aus ansteuern.

Wenn man extra ICs nimmt, die einem das PWM Signal bereitstellen, hat man das Problem das PWM Signal mit dem Umschalten der Ebenen zu syncronisieren. Da Wäre ein Chip mit externem Takt schon gar nicht verkehrt. Schwierig wird das vor allem wenn man mehr als einen Chip für die PWM Signale hat.

Eine Möglichkeit wäre eventuell auch die LEDs direkt von einem µC zu Treiben, der dann auch die PWM Signaler erzeugen könnte. Wegen dem 200 mA Limit pro Vcc Pin wird man damit aber auf vielleicht 16 LEDs (je 20 mA) pro Chip kommen. Für den 4x4x4 Würfel also schon 3 µCs (z.B. Mega4. Bei nur 16 Kanälen hat man schon etwas mehr Reserve für Software PWM.