Im Schaltplan sind noch keine Widerstände zu den LEDs. Ohne wird bei RGB LEDs schwierig, schon wegen der verschiedenen Spannungen.

Für eine einigermaßene Helligkeitsregelung wird man mher als 4 Bits brauchem. Wegen des nichlinearen Helligkeitsemppfinden sind selbst 8 Bit nicht so reichlich.

Die Geschwindigkeit des µC reicht für software PWM (8 Bit) gerade so aus, wenn man sich mit dem Programm etwa Mühe gibt. Viel Rechenzeit ist dann aber vermutlich nicht mehr über, und man braucht eine Hardware SPI Verbindung. Das könnte das SPI Interface oder die USART sein. Wobei ich nicht weiss ob die USART schnell genug ist. die müßte man dann eventuell für die andere VErbindung nutzen. Entsprechend müßte man etwas andere Pins wählen.

Wie viel Rechnzeit die Ethernet verbindung braucht weiss ich nicht, dass sollte man vorher nachsehen, ob noch genug übrig ist.

Vom Strom her sollte der 7805 noch reichen, wohl aber mit Kühlkörper.
Mehr als 70 mA sollte einer HC595 nicht liefern (limit aus dem Datenblatt), also maximal 420 mA gesamt. Auch der ULN2.... kann ja nur 500 mA maximal.
Ist ein wenig die Frage ob die LEDs mit ca. 8 mA und 1:4 multiplexing hell genug sind. Das entspricht etwa 2 mA Dauerstrom pro LED.

Edit:
Wenn das Datenblatt stimmt, sollte die Helligkeit zumindest im Zimmer ausreichen.