Zunächst mal musst Du wissen, dass vor dem Einschalten beide Kondensatoren entladen sind. Im enladenen Zustand kannst Du einen Kondensator kurzzeitig als Niederohmig (d.h. Drahtbrücke) betrachten.
Wenn Du nun die Schaltung einschaltest, sind im ersten Moment beide Transistoren gesperrt. Die Basisanschlüsse beider Transistoren liegen über 47kOhm an +, es kann also ein Basistrom fließen. Nun liegt es erst mal am Zufall, welcher Transistor zuerst durchschaltet.

Nehmen wir mal an, T1 schaltet zuerst durch.Die Basis von T2 liegt nun über den Kondensator C1 (wir erinnern uns: erst mal als Drahtbrücke betrachten) und die durchgeschaltete Kollektor-Emitter-Strecke von T1 an Masse. T2 sperrt also. C1 liegt nun mit einer Seite aus Masse (über T1) und mit der anderen Seite an + (über den 47kOhm Widerstand). Somit kann sich C1 aufladen und die Spannung an der Basis von T2 steigt langsam an. Wenn nun die Spannung an C1 die Durchbruchspannung (ca. 0,7V) von T2 erreicht, schaltet T2 durch. Nun liegt plötzlich die Basis von T1 an Masse (C2 ist nicht geladen) und sperrt sofort. Jetzt geht das ganze Spiel von vorne los.

Um Deine Fragen noch mal direkt zu beantworten:
1) Der Elko kann sich aufladen, da einer der Transistoren durchschaltet und der Kondensator somit einseitig auf Masse liegt. Wenn T1 durchschaltet, lädt sich C2 auf, wenn T2 durchschaltet, lädt sich C1 auf.

2) Wenn die Spannung an der Basis eines Transistors einen bestimmten Wert überschreitet (üblicherweise 0,7V) wird die Basis in Richtung Emitter leitend. Über diese Strecke kann sich der Kondensator entladen. Der Kondensator wird somit also auch nie voll, sondern lädt sich maximal auf ca. 0,7V auf.

Gruß,
askazo