Hast du etwa den 27 Ohm widerstand einfach in Reihe mit den beiden LED's ohne dem LM317 geschaltet? Ohne dem LM317 ist es keine Konstantstromquelle, der Strom steigt mit steigende Spannung an.
7.7V-(2*3.1V)=1.5V
1.5V/27 Ohm= 55mA -> 7.7V ist gerade an der Grenze.
Angenommen du benutzt nun 10V:
10V-(2*3.1V)=3.8V
3.8V/27R=141mA -> dann gehen deine LED's kaputt.

Wenn du die Schaltung genau so wie in deinem Link mit LM317 aufgebaut hast, sollte das bis etwa 40V gefahrenlos funktionieren. Check mal bitte deine Schaltung nochmals durch, ist alles richtig aufgebaut? Wie hoch stellst du die Eingangsspannung? Kommt der metallerner "Tab" am LM317 mit irgendwelche Leitungen in Kontakt? Wird der Reihenwiderstand sehr heiss?

Die Konstantstromquelle mit dem LM317 sollte erst ab eine Spannung von: V(LM317)+V(27R)+V(LED's)=(ca. 3V)+1.25V+2*3.1V=10.5V die volle 50mA liefern koennen...