Einen Spindelantrieb via Schrittmotor wirst du auf jeden Fall brauchen.
Normal reicht es dann auch die Schritte zu zählen und ab und an eine Referenzfahrt zu einem (genauem) Referenzschalter (evtl. Lichtschranke) zu machen.
Sollte das nicht reichen, wobei ich nicht glaube dass du zu viele Schritte verlierst, kannst du noch einen Encoder mit verbauen.

Interessanter dürfte da die Halterung der DVDs, bzw der Greifarm werden.. hast du dir schon Gedanken gemacht wie die mechanisch aussehen sollen?