Du wirst einiges an Leistung vorne reinstecken müssen damit du die LED zum Leuchten kriegst.
Die Kopplung von 2 Luftspulen ist sehr schlecht. Aber soweit ich das verstanden habe willst du ja keinen Eisenkern verwenden.
Du musst also versuchen ein möglichst starkes Magnetfeld aufzubauen, das geht mit möglichst viel Windungen und möglichst viel Strom.

Die zweite Spule mit der LED dran sollte natürlich auch soviele Windungen wie möglich haben um den magnetischen Fluß möglichst gut auszunutzen.

Je höher die Frequenz, desto mehr Spannung wird induziert.
Das mit dem Rechteck ist schon ok, durch die Spulen wird das Rechtecksignal eh so verbogen dass es nicht mehr so kantig ist.