"r" ist normalerweise der Kleinsignalwiderstand der Diode, also die Steigung der Kennlinie für kleine i(t).
Das gilt dann nur für i(t) klein gegen I0. (Für i(t) > I0 sind die Gleichungen nicht mehr gültig, mit U>unendlich. )

Man kann natürlich r auch als Zeitfunktion angeben wenn man beispielsweise über die Diodenkennlinie mit 1kHz eine Amplitudenmodulation durchführen möchte. Dann kommt noch ein Trägerstrom hinzu mit höherer Frequenz der aus seiner Quelle mit Innenwiderstand kommt und durch den wechselnden Widerstand der Diode moduliert wird (Diodenmischer oder -Modulator).

Die Phase von Pi/3 steht auch ohne Bezugsphase etwas verloren herum. Wenn es kein Signal mit der Phase null gibt warum definiert man ein Signal mit der Phase, die um 60° gegen etwas verschoben ist was es nicht gibt?

Ist das einfach eine mathematische Übungsaufgbae mit Einsetzen und Durchrechnen? Dann stehen im Ergebnis von r immer noch die Ströme I0, Is und Imax. Für praktische Fälle sollte man als erstes die Beziehung I0 >> Is zur Elimination von Is anwenden.
Manfred