Zuerst überlegst Du Dir, wie der Koordinatenraum aussieht. Er ist sehr Wahrscheinlich das Kartesische Produkt aus S1 (Kreisring) und Intervallen I, also zB
S1 x S1 x I x I.

Der Koordinatenraum ist 4-dimensional, wenn jede der Achsen eine Dimension liefert.

Ein Punkt P' im R^3 (Anschauungsraum) der anzufahren ist, werden dann in den Koordinatenraum abgebildet und wird zu einem oder mehreren Punkten P.

Um von P' zu Q' zu kommen, fährt man dann von einem P zu einem Q im Koordinatenraum.

Dazu müssen P und Q natürlich in der gleichen Zusammenhangskomponente des K-Raumes liegen. Nehmen wir mal an, daß der K-Raum zusammenhängend ist, dann kann immer ein Weg von P nach Q gefunden werden.

Im K-Raum findet man eine Verbindung, indem man eines der Ps mit einem der Qs verbindet. Wie die Verbindung aussieht, ist zunächst egal. Für einen konvexen K-Raum tut es eine Strecke von P nach Q, für nicht-konvexen K-Raum gehen endlich viele Strecken hintereinander, wobei jede Strecke ganz im K-Raum liegen muss.

Nun will man nicht irgendeine Strecke, sondern zB eine die im R^3 möglichst kurz ist.

Dazu muss man den K-Raum mit der richtigen Topologie versehen, welche man durch das totale Differenzial der Abbildung der beiden Räume erhält. In der Regel ist eine Strecke also nicht die kürzeste Verbindung zweier Punkte im K-Raum (K-Raum ist also gekrümmt, ähnlich wie die Raumzeit).

Von der initialen Verbindung von P und Q durch mehrere Strecken gelangt man durch Variation immer näher an die kürzeste Verbindung (die wieder komplett innerhalt des K-Raumes liegen muss). In der Praxis dürften wenige Iterationsschritte genügen, und für einfach strukturierte K-Räume ist vielleicht sogar ein expliziter Ausdruck zu finden und praktikabel.

Zudem sind u.U. Nebenbedingungen zu beachten, etwa wen sich in der Kurve ein Knick ergibt. Über die Krümmung der Kurve (Topologie beachten) kann man zB die (Winkel)-Beschleinigung im R^3 erhalten, für die es wahrscheinlich Obergrenzen gibt, ebenso wie für die Geschwindigkeit. Es kommt also eine 5-te Dimension (die Zeit) hinzu, die man genauso behandeln kann wie die anderen Dimensionen, nur daß sie identisch zu R ist. Hier können dann Bedingungen an die Kurzvenkrümmung (Beschleunigung) und partielle Ableitung (Geschwindigkeit) formuliert und kontrolliert werden.