Der Umschalter müsste jeweils einen der AVRs im Reset halten. Dann sind die Pins hochohmig, und der andere AVR kann das Display ansprechen.

Aber wieso willst du eigentlich zwei Controller verwenden, die abwechselnd aktiv sind? Sinnvoll wären eigentlich einer fürs LCD und einer für die sonstigen Fernsteueraufgaben... und reine Bilddaten passen auch in einen externen Flash/EEPROM-Speicher...