der Kontrast dürfte nicht zu stark sein (wie kann ich genau den Kontrast über ein Poti regeln?)
Das klingt so, als hättest Du gar nichts an den Kontrast-Pin angeschlossen - dann werden die konstanten Balken vermutlich genau daran liegen. Der "sinnvolle" Bereich der dort benötigten Spannung liegt i.d.R. so um 1-2V, höhere Spannungen (bis max. +Ub!) haben aber zumindest meinen Displays bisher nicht geschadet. Schließ doch mal ganz simpel ein Poti zwischen 5V und GND an und lege den Abgriff auf den Kontrast-Pin. Dann müsstest Du irgenwo eine Position finden, in der die hellen Punkte hell und die dunklen dunkel sind.

Nicht ganz unwichtig ist auch der Pin 5 (Read/Write): Der muss auf Low liegen, damit das Display Befehle empfangen kann - viele Displays haben aber einen PullUp-Widerstand eingebaut(!). Leg das Teil am besten mal auf GND (falls noch nicht geschehen).

Gutes Gelingen!