Oder ein lm350 (80cent bei Reichelt +kondensatoren) mit kühlkörper.
der macht laut datenblatt 3A, auf nem guten kühlkörper knappe 4A.
Verlustleistung wären hier ja
12V-8,8V= 3,2V
3,2V * 2A = 6,4Watt..

Ich hab den auf nem alten Southbridge Kühler in Verwendung.
Sehr gut gerade für to220 sind CPU Kühler,
die gibts ab 6euro (reichelt) mit klasse Kühlleistung.
Wegen Bohren und Gewinden empfiehlt sich was ohne Heatpipe.

Ist ne einfache Lösung.
Denk aber daran, dass auch die 12V die 2A (besser mehr) bringen müssen.