Hallo Zachso,
achte darauf, dass du 20mA brauchst und nicht 10.4V. Die Hintergrundbeleuchtung ist ziemlich sicher eine LED und die wird stromgesteuert.

Üblicherweise verwendet man einen kleinen step-up wandler, gerne auch open-loop. Spulen gibt's bei reichelt, PWM-Port hast du hoffentlich am µC, als Transistor reicht ein kleinsignaltransistor mit 500mA.