Ich habe die Lösung des Problems gefunden!

Der Fehler war tatsächlich, die im Datenblatt enthaltenen Funktionen EEPROM_write() und EEPROM_read() zu nutzen. Die scheinen fehlerhaft zu sein. Stattdessen habe ich nun die Funktionen eeprom_write_byte() und eeprom_read_byte() aus der eeprom.h probiert, und siehe da! Es läuft!

Wirklich schade, dass im Datenblatt, auf das man sich verlassen können sollte, und auf das hier im Forum ständig verwiesen wird, solche Fehler manifestiert sind. Das hat mich unnötigerweise einen guten halben Arbeitstag gekostet...

Gruß Matze