Hi!
Also, auf deiner "Zeituhr", sprich der Timer-Platine, sitzt ein Relais. Das Relais ist ein Schalter der ein und ausschaltet.
Diese Timer-Platine musst du natürlich mit Strom Versorgen, das tust du mit deinem externen Trafo bzw. Netzteil.
Deinen Akku willst du für eine bestimmte Zeit aufladen und wenn er nach einer bestimmten Zeit voll ist, möchtest du das Ladegerät vom Akku trennen (also die Ladung abbrechen).
Das Ladegerät für den Akku ist vermutlich für die Steckdose (so wie auf der Zeichnung) und es gehen zwei Kabel zum Akku. Eines dieser zwei Kabel (welches ist egal) schließt du an "C" von deiner Timer-Platine (Zeituhr) an. Das andere Kabel an den Akku (auf Plus und Minus achten, sonst geht der Akku kaputt!). Jetzt gehst du von "O" auf der Timer-Platine auf den übrigen Kontakt des Akkus.
Wenn du alles mit Strom Versorgst, ist das Ladegerät so lange mit dem Akku verbunden (und lädt ihn) bis deine eingestellte Zeit abgelaufen ist. Dann trennt das Relais den Akku vom Ladegerät.

Ob die Zeituhr kaputtgegangen ist, oder nicht, lässt sich schwer sagen. Am besten ist es, wenn du eine dir bekannte Zeit einstellst und dann kontrollierst ob die LED dann auch dunkel wird. Wenn das nicht funktioniert, ist vermutlich das IC (schwarzes Bauteil mit vielen Pins) defekt.
Aber wie gesagt: Genau sagen kann man das von der Ferne nicht!

Hoffe dir geholfen zu haben!
Basti