Hallo,

Das Mecanumrad besitzt schräg angestellte Walzen/Rollen auf dem Umfang. Einen kleinen Papierstreifen kann man zu einem "Rad" zusammen rollen, also wie eine Zylindermantelfläche. Auf diesem scheinbaren Rad kann man mal die Achsen der Rollen draufmalen. Wickelt man das Rad wieder ab, also macht aus dem Papierrad wieder ein Papierstreifen, dann erhält man in etwa folgendes Muster:

******Bild hier  

In diesem Fall hat das Mecanum-Rad 6 Rollen auf dem Umfang (die rote Linie stellt also die Achse der gleichen Rolle dar), die mit dem Winkel α angestellt sind.
Die Rollen drehen sich freilich selber nur um diese eine (aufgezeichnete) Achse, blockieren also die Fortbewegung in die y-Richtung. Also anders: in x-Richtung lässt sich das Rad frei von Hand schieben, in die y-Richtung nicht.
Und das passiert bei der Drehung des Rades:
Durch dessen Drehung durch einen Motor gibt es eine Umfangsgeschwindigkeit v, die sich in eine x- und in eine y-Komponente aufteilt. Dabei kann, wie eben beschrieben, der x-Anteil frei hin- und her- und wegrutschen. Die eigentliche Fortbewegung geschieht durch die y-Komponente.
Die Frage, die sich also stellt, ist: Wie weit rutsche ich in y-Richtung, wenn ich eine Umdrehung des Mecanum-Rades absolviert habe?
Kurzum gibt es hier einen "scheinbaren" Umfang, der nicht mit dem Umfang des Rades überein stimmt.

In blau lässt sich ein schönes rechtwinkliges Dreieck in diese Abwicklung reinmalen, deren spitze Winkel genau an dem selben Punkt liegen. Für dieses Dreieck gilt:

**Bild hier  

wobei u der Umfang und D der Außendurchmesser des Rades ist.
Durch eine kleine Winkelbeziehung lässt sich die überflüssige Größe in x-Richtung beseitigen und daraus die gesuchte Größe berechnen:

**Bild hier  

Im Spezialfall, dass der Winkel α=45° ist, ist dessen Tangens genau 1, sodass sich die Gleichung zu

**Bild hier  

vereinfacht. Pro Umdrehung wird also genau diese Strecke zurück gelegt.
Auch wenn man hier ein wenig mehr Fantasie braucht, um das nachzuvollziehen, hoffe ich, dass es halbwegs verständlich ist. Wenn nicht, dann einfach nochmal fragen!
Grüß
NRicola