Dann muss es mit dem Pulldown funktionieren. Eigentlich sogar ohne exteren Widerstand, es sind nämlich schon interne vorhanden.

Wie sind die Relais angeschlossen? 12V-Quelle->Relais->Ausgangspin des ULN?

Tritt das Problem nur beim einschalten der Stromversorgung auf, oder auch, wenn du den Controller resettest?