Ich liefer mal meine Interpretation
Würdest Eingang und Ausgang vom NAND, oder wars ein NOR, direkt verbinden würde es ziemlich rasant schwingen.
Die Wahrheitstabelle bei nem NAND sieht ja so aus.

01=1
10=1
11=0
00=1

Beide Eingänge sind zusammen gekoppelt, also wird aus dem NAND ein Inverter. Sind die Eingänge eins, hast am Ausgang 0 welcher zum Eingang rückgeführt wird und dort sich selbst wieder auf 1 schaltet.

Die Spule und der Kondensator bilden unter Wechselspannung betrachtet ein RC Glied. Die Spule hat ka einen frequenzabhängigen Widerstand. Dient also als Dämpfung, damit der Inverter auch Zeit hat umzuschalten.
Der Counter dahinter ist nur dazu da, damit die Frequenz zum messen niedriger wird.

Befindet sich nun ein Metall in der Nähe, hat die Spule eine höhere Induktivität und somit einen niedrigeren Ac Widerstand. Der Kondensator kann sich schneller umladen und die Frequenz steigt.

So das war mal meine Version der Funktionsweise, muss nicht zu 100% stimmen.