In Deinem Schaltplan stimmt die Nummerierung der ULN's nicht: 12...20 muß nach 10...18 umbenannt werden, dann stimmt's. Das sind 18-polige IC's.
Was ist an Pin 2 des JP3 ? Der Pin 10 des ULN muß bei induktiven Lasten (also bei Relais) zwingend am Plus der Last angeschlossen sein; geschaltet wird GND ! Ist Pin 10 des ULN nicht angeschlossen, muß jedes Relais eine Freilaufdiode haben, sonst ist nach 1 mal schalten Feierabend mit den Darlington's.
Der FCF8574 schaltet bei Power on immer alle Pins auf Ausgang.
Wie stellst Du fest, daß die I/O-Pins des PCF Ausgänge sind ? Ich würde schlußfolgern, es sind Eingänge, wo die Spannung beim Anschluß des ULN unter Ube der Darlington's absinkt.
Soweit funktioniert es, aber sobald ich den ULN reinlöte sinkt die Steuerspannung auf etwa 0,5 V ab und der ULN schaltet gar nicht.
Die ULN's brauchen eine Eingangsspannung über 3V, sonst schalten sie nicht. Die Basis-Emitter-Spannung eines Darlington's liegt bei ca. 1,4V !

PS: A quasi-bidirectional I/O can be used as an input or output without the use of a control signal for data direction.
At power-on the I/Os are HIGH. In this mode only a current source to VDD is active. An additional strong pull-up to VDD allows fast rising edges into heavily loaded outputs. These devices turn on when an output is written HIGH, and are switched off by the negative edge of SCL. The I/Os should be HIGH before being used as inputs.