Zuerst müsste man mal klären, ob die Drehachse mittig durch die Schnittfläche durchtritt oder die Kugelhälfte irgendwie an der Achse rumeiert. Ersteres vorausgesetzt kannst Du das Dreifachintegral für J in einem Dir beliebenden Koordinatensystem lösen (kartesisch ist bäh, Kugel für mich als nicht räumlichdenkenkönnenden Menschen irgendwie verwirrend), Du nimmst ohne Nachdenken die Formel aus zuvor erwähntem .pdf (nach Halbkugel suchen) oder aber Du denkst Dir die Halbkugel aus unendlich vielen Kreisscheiben aufgestapelt, deren Durchmesser von r bis 0 geht. Der Durchmesser in Abhängigkeit der Position auf der Drehachse, nehmen wir mal z=0 auf Höhe der Schnittfläche an dann ist durch x^2+y^2=r^2 gegeben:
y^2=r^2-x^2, das dann in die Formel für das Trägheitsmoment der Scheibe (Formelsammlung musste selbst suchen) und von 0 bis r integrieren, sollte auch passen. Das legt allerdings nahe, dass das Integrieren von -r bis r die Vollkugel liefert und das Ergebnis gerade das Doppelte der vorigen Betrachtung sein muss - ich würde also auch annehme, dass J der Halbkugel halb so gross ist wie das der Vollkugel.