Vielleicht solltest Du Dich mal zum Lesen eines Datenblattes herab begeben, dann stellst Du schnell fest, dass Du den OP nicht so nah an der positiven Versorgung betreiben darfst. Ich lese es jetzt nicht, weil ich in 5 Stunden aufstehen muss, aber aus dem Gefühl heraus würde ich bei 324/358 sagen, Eingang von Vss bis Vcc-2V und Ausgang Vss+2V bis Vcc-2V, also musst Du den OP entweder mit mehr als 5V speisen oder das Eingangssignal verringern - mit genauen Spannungsteilern oder einer niedrigeren Erregung für den Sensor. Bevor Du die Parameter, die der IC-Hersteller vorgibt und garantiert, nicht einhältst, ist jede Diskussion über die Ursache müßig. 10mV Offset sind auf jeden Fall erstmal etwas viel. Wenn Du eh an einem Testaufbau arbeitest, solltest Du vielleicht wirklich mal die +Ub auf 8V oder so anheben - nur für den LM358 natürlich, der Sensor bleibt auf 5V.

Edit: habe jetzt doch mal einen Teil Deiner Arbeit gemacht und in den referenzierten Wiki-Artikel gesehen. Wieso hast Du fast die volle Betriebsspannung an den OP-Eingängen, d.h. wie hast Du das Widerstandverhältnis gewählt? Wahnsinnige Verstärkung? Wenn Du mit ohne zusätzliche Versorgungen auskommen willst, wähle mal die Verstärkung geringer, zB gleich eins mit vier gleichen Widerständen. Dann bist Du sicher im zulässigen Bereich und kannst danach weiter verstärken. Allerdings ist bei Sensorspannungen im mV-Bereich der 0815-OP nicht die erste Wahl. Eher OP07 oder sowas...