geht diese Welle "ganz durch" d.h. sie ist nicht in der Mitte unterbrochen
Das würde ich nicht machen bzw nicht die Boogies fest mit ihr verbinden. Das würde heißen, dass diese sich auf beiden Seiten gleich bewegen müssten....SEEEEEEHR ungünstig. Entweder die Boogies "locker" auf der Achse lagern, oder diese in der Mitte teilen.

Das Gewicht des Bot wird zwischen 50 und 70 kg liegen. Das sind max. 35 kg pro Seite und somit etwas wenier als 9kg pro Achse.
Könnte man annehmen. Ich würde aber wie folgt rangehen: Es hat seinen Grund warum der Bot mit Kettenantrieb versehen wird. In unwegsamem Gelände kann man gut damit rechnen, dass der Bot mal schief steht. Dann könnte er grad so ungünstig stehen, dass vielleicht 2-4 der Räder belastet sind. Worst-case wäre mal 2 Räder. Angenommen diese zwei Räder würden etwa 75% des Gewichts tragen müssen (bei 100% wäre er kurz vorm Umfallen), kann man sagen, dass ca 53kg. bei erdanziehung entspricht das ca 520 N=F.
Damit würden zwei Räder 520 N aushalten müssen. Die Achse der kleinen Räder ermittelt sich also so (angenommen: die Räder sind einseitig befestigt, der Abstand zwischen Stützradmitte und Achsbefestigung am Boogie ist l_a - Biegebeanspruchung):

sigma_b<=sigma_{bzulässig} (Extremum: =!)
M_b/W_b=sigma_{bO}/S
M_b=F_r*l_a
F_r=aufzunehmende Kraft/Anzahl tragende Räder
F_r=F/2
W_b=pi*d³/32
(F*32*l_a) / (2*pi*d³) = sigma_{bO}/S
Damit lässt sich der Achsdurchmesser ausrechnen:
d³=(16*F*l_a*S) / (pi*sigma_{bO})

Nun brauchst du nur noch deinen Wunschwert für l_a einsetzen und für die anderen Sachen folgendes:
sigma_{bO}=370N/mm² (für ST50, also "normalen" Stahl)
S=1,5...2 (Sicherheitsbeiwert, falls du ihn doch mal stärker belädst oder die Achse schon etwas älter/korrodierter geworden ist)
F=520N
dann erhälst du den erforderlichen Durchmesser in mm. Ich würde für die blau gemalten Achsen vielleicht die doppelte Kraft annehmen (um das /2 zu kompensieren) falls die beiden tragenden Räder gerade am gleichen Boogie hängen.
Die Antriebsräder hätten theoretisch nur ein Torsionsmoment zu übertragen, weshalb sich deren Durchmesser wie folgt berechnen lässt:

tau_t<=tau_{tzul}
M_t/W_t=tau_{tO}/S
W_t=(pi*d³)/16
(16*M_t) / (pi*d³) = tau_{tO}/S
d³=(16*M_t*S) / (pi*tau_{tO})

Für das Drehmoment M_t setzt du das was hinter dem Getriebe rauskommt rein (Achtung: in Nmm nicht in Ncm oder Nm!!!), als Sicherheit würde ich wieder S=2 oder so wählen und für ST50 ist die Dauerfestigkeit für Torsion tau_{tO}=180N/mm² (wenn ich das jetzt richtig im Kopf hab).
Aber ich würde vielleicht noch so 2-4mm auf diesen Durchmesser draufschlagen, da ja die Kette immer unter Spannung stehen muss (gegenüberliegendes Rad=Spannrad?...empfehlenswert) und so gesehen die Antriebswelle noch eine kleine Biegebeanspruchung erfährt.
Sorry dass ich jetzt alles so lieblos und trocken hinschreibe, weil grad wenig Zeit. Aber wenn du näheres zu Entstehung und Geschichte erfahren willst, dann sag bescheid!
Viel Spaß mit diesen Förmelchen wünscht
NRicola