Okay, wie dem auch sei. Der Berechnungsansatz war schon gar nicht so verkehrt, das Biegemoment errechnet sich wie geschrieben so:

M_b = F * l = m * g * l

wobei hier nun die Werte des Gegengewichts rein müssen.

Die Biegespannung (auch richtig geschrieben):

sigma_b=M_b/W_b

Aber dieses Sigma muss kleiner(gleich) einem maximal zulässigem sigma sein:

sigma_b <= sigma_{bzulässig}

Und in letzterem steckt die Sicherheit mit drin:

sigma_{bzul} = sigma_{bO}/S

Dabei ist sigma_{bO}=80N/mm²
und S=7
Das Widerstandsmoment errechnet sich so:

W_b = I_{xx}/|y_o|

Sieht erstmal anders als das obige aus, isses aber nur zum Teil:
I_{xx} = bh³/12
y_o = h/2
y_o ist also von der Trägheitsachse der maximale Abstand nach oben oder nach unten. Bei Quadratquerschnitt ist es einfach: Trägheitsachse=horizontale Symmetrieachse. Der maximale Abstand wäre nach oben und nach unten genau gleich nämlich exakt h/2.
Schmeißt man nun alles auf einen Haufen, kommt sowas hier in etwa raus: (b=h)

M_b/W_b=sigma_{bO}/S
[(m*g*l)*h*12]/(2*h*h³)=sigma_{bO}/S

Es war also bis hierhin fast alles richtig.
Und nun könnte man einfach mal nach h umstellen und gucken, wie dick der Querschnitt sein muss:

h³=6*m*g*l*S/sigma_{bO}

Nur noch einsetzen - das wär's. Aber die Sicherheit von 7 weglassen wäre falsch. Mit einer Sicherheit von 1 würde man sagen: jawoll: der Träger hält, damit ist gut. Aber man will sich auf solche Berechnungen nicht immer so gerne verlassen. Deshalb hat man diesen Sicherheitsfaktor eingeführt. Es wird quasi eine in diesem Fall 7x größere Last angenommen, der der Balken entgegenwirken kann - er wird also ordentlich überdimensioniert! Nach der Berechnung, die du bereits gemacht hast, würde der Balken zwar dein Gewicht von 10kg halten, aber eine Sicherheit von 7 wäre nicht gewährleistet - man könnte also meinen, dass er evtl nicht sonderlich lange hält. In der Formel hier oben kannst du ausrechnen, wie groß h wirklich sein muss, um die Sicherheit einzuhalten.
Grüß
NRicola