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Thema: Berechnung der Zahl Pi

  1. #1
    Erfahrener Benutzer Begeisterter Techniker
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    Berechnung der Zahl Pi

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    Hey Leute,

    ich hab mir mal den Spaß gemacht und versucht die Zahl Pi so exakt wie möglich zu berechnen.
    Ich bin nun mittlerweile auf 12 nachkommastellen gekommen.

    Mein Ziel ist es mindestens 20 Stellen zu schaffen. Und das möglichst ohne das der PC dafür eine Stunde rechnen muss.

    Es gibt ja viele Möglichkeiten Pi zu berechnen.
    Über ein annäherungsverfahren habe ich es bereits versucht. Mehr als 6 Stellen habe ich da in einer überschaubaren Rechenzeit nicht hin bekommen.

    Dann habe ich es weiter versucht und bin den Umfang über Pytagoras Dreiecke abgefahren.
    Einen viertel Kreis in ein Koordinatensystem gelegt. Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises. und dann immer von einer Dreickspitze zur Spitze des nächsten dreics die Strecke aufaddiert bis ich den viertel Kreis voll hatte.

    Über diese Methode bin ich immerhin auf 12 Nachkommastellen gekommen.
    Dazu brauchte es zwar ganze 10 Millionen Dreicke im viertel Kreis und 10 Minuten Rechenzeit, aber es hat funktioniert.

    Das kuriose ist: Wenn ich es auf 60 Millionen Dreiecke erweitere, dann müsste es ja theoretisch noch genauer werden. Dann stimmten allerdings nur noch 11 Stellen überein...

    Das kann ich mir nicht so ganz erklären.

    Aber vielleicht können wir hier mal einen kleinen Wettbewerb starten und schaun wer die meisten Stellen richtig berechnen kann und vorallem: Über welchen Rechenweg.

    Bin gespannt was so bei heraus kommt.

    Und zum vergleich hier mal die erste million Nachkommastellen:
    http://www.exploratorium.edu/pi/Pi10-6.html

    Also wenn ich 10 Minuten für 12 Stellen brauch, da frag ich mich wie lange die für die 1 Million Stellen gebraucht haben...
    Wer aufhört besser zu werden, hat aufgehört gut zu sein

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  2. #2
    Super-Moderator Robotik Visionär Avatar von PicNick
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    Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises.
    Du meinst aber schon den Durchmesser ?
    mfg robert
    Wer glaubt zu wissen, muß wissen, er glaubt.

  3. #3
    Erfahrener Benutzer Begeisterter Techniker
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    nein ich mein den Radius.
    Weil ich von einem viertel Kreis ausgehe.

    Die Hypotenuse geht dann von Kreismittelpunkt zum Kreis
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  4. #4
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär Avatar von oberallgeier
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    Zitat Zitat von PicNick
    Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises.
    Du meinst aber schon den Durchmesser ?
    Da darf ich Dir vorsichtig und höflich widersprechen. Die Winkelfunktionen sind Funktionen des Einheitskreises. Der aber ist der Kreis mit dem Radius "1". Die Winkelfunktionen sind (daher) auch gut erklärbar mit einem um den Kreismittelpunkt laufenden Halbstrahl.

    Wenn Du Dir das Ganze aufzeichnest, wirst Du merken, dass es rechtwinkelige Dreiecke (auf denen "der Pytagoras" beruht) beim Kreis nur am Thaleskreis, allerdings da unendlich viele, gibt - aber man kann aus denen wirklich keine Winkelfunktionen ablesen.

    Zitat Zitat von robodriver
    ... ein annäherungsverfahren ... kuriose ist: Wenn ich es auf 60 Millionen ... erweitere ... stimmten allerdings nur noch 11 Stellen überein ...
    Das ist ein sicherer Hinweis darauf, dass das von Dir angewendete Verfahren nicht konvergiert. Hast Du es auf Konvergenz überprüft?
    Ciao sagt der JoeamBerg

  5. #5
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    Hm, was ist denn konvergenz?
    Davon hab ich noch nie was gehört.

    Ich tippe drauf, das der vielleicht die Kommastellen bei der Wurzel oder dem Quadrat nicht vollständig rechnet.
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  6. #6
    Erfahrener Benutzer Robotik Visionär Avatar von oberallgeier
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    Zitat Zitat von robodriver
    Hm, was ist denn konvergenz? ...
    Numerische Rechenverfahren KÖNNEN bei steigender Schrittzahl genauer werden, sie müssen es nicht. Wird ein bestimmtes Rechenverfahren mit feiner werdenden Schritten genauer, dann konvergiert es (hoffentlich auf das richtige Ergebnis zu). Tut es das nicht, dann ist die Konvergenz nicht gegeben. Am dümmsten ist es, wenn Verfahren nur abschnittsweise konvergieren.

    Zum Überprüfen eines numerischen Verfahrens auf Konvergenz gibt es bestimmte Vorgehensweisen - man kann auch das rechnen, man muss es nicht ausprobieren. Numerik und Konvergenz sind nicht nicht gerade die simpelsten Gebiete der Mathematik. Sorry, wenn ich das in der Kürze nicht besser erkläre.
    Ciao sagt der JoeamBerg

  7. #7
    Erfahrener Benutzer Begeisterter Techniker
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    Hm okay.
    ... Was es nicht alles gibt ...

    Aber gut, es muss eine besser Möglichkeit geben.
    Irgendwie hat man es ja geschafft eine Million stellen zu berechnen...
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  8. #8
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    http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisza...uchentwicklung

    unter "Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form [...]" ist ein Kettenbruch beschrieben, mit dem man Pi deutlich schneller approximieren kann. (Man könnte sagen: "Die Reihe konvergiert schneller gegen Pi".)

    Gruß

  9. #9
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    Hi,

    mit einer "fertigen" Reihenentwicklung, wie z.B. dieser hier:



    lässt sich pi relativ schnell ausrechnen. Ich habs mal in C++ mit DT "double" ausprobiert, das ging "ruck-zuck"

    Viele Grüße

  10. #10
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    Die Hauptfrage ist doch eher:
    Wieviele Stellen bekommst du damit EXAKT hin?
    Ich kann dir über den Pytagoras auch in 3 Sekunden die ersten 8 Nachkommastellen korrekt berechnen.
    Mit solchen Rechenketten bin ich aber noch nie genauer gekommen. Selbst wenn ich bis 100 Million rechne.

    Also bitte präzisiere mal deine Aussage "ICh habs ausprobiert, ging ruck zuck" etwas genauer.


    Wichtig sind die Daten: Wie weit hast dus durchgerechnet, wieviele Stellen von Pi stimmen mit der echten Zahl Pi überein und wie lange hat die Berechnung in etwa gedauert?
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