Navigation mittels Triangulation

[Spurius]

Hallo,
ich versuche gerade, eine Lösung zu finden, um die Position eines Objektes in einer Ebene zu ermitteln. An 3 Punkten in der Ebene befinden sich Baken, und das Objekt scannt einmal im Kreis, sodass es die Winkel der Baken zueinander weiss. Wie kann ich jetzt aus diesen Winkel und den bekannten Abständen der Baken zueinander die Position des Objektes errechnen?
Gruss
Spurius

[oberallgeier]

Das Stichwort heisst Geometrie, genauer Geometrie der Ebene und es geht ein bisschen um Dreiecke (also nicht NUR um triangulum - drei-winkel). Der "Faulenzer" heisst google oder so. Und der Joker flüstert: mach Dir mal ne Skizze.

[Spurius]

na du bist ja ein ganz lustiger... habe bereits ein computerprogramm geschrieben, um das problem zu simulieren... mein ansatz ist momentan, 2 allgemeine gerade durch die 2 baken laufen zu lassen und den unbekannten punkt, und dann aus der menge der möglichen punkte den punkt rauszusuchen, der den richtigen schnittwinkel hat. weil es aber 2 mögliche punkte gibt, muss man einen mithilfe der 3. bake ausschliessen, richtig? ist etwas her, dass ich das letzte mal etwas mit vektorieller geometrie gemacht habe...

[avion23]

Hallo Spurius,
den zweiten Punkt kannst du über logik (z.B. liegt in der Wand)
oder durch den zeitlichen Verlauf ausschließen.

[oberallgeier]

Hei Spurius,

... An 3 Punkten in der Ebene befinden sich Baken, und
das Objekt scannt einmal im Kreis, sodass es die Winkel der Baken zueinander weiss ...

jut, dann stelln wa uns mal janz dumm. Ist ja nicht schwer, weil analytische Geometrie ist nicht wirklich mein Ding.

Gegeben:
1) Die geometrischen Örter A, B und C von drei Baken.
2) Daher: Zwei Strecken AB und BC mit bekannter Länge.
3) Daher: Der Winkel ABC ist bekannt.
4) Der Winkel alfa, unter dem ich die Streck AB sehe.
5) Der Winkel gamma, unter dem ich die Streck BC sehe.


Gesucht:
Mein Standpunkt S.
([OT] Du weisst ja was ein Standpunkt ist!? Ein Gesichtskreis mit dem Radius Null. [OT/])

Lösungsansatz (?) :
Die beiden Winkel alfa und gamma sind Peripheriewinkel von zwei Kreisabschnitten k1 und k2, die als Sehnen die Strecken AB (k1) und BC (k2) haben. Weil es Kreisabschnitte sind, ist die Lösung eindeutig. Am Schnittpunkt der beiden Kreisabschnitte stehe ich.

Stimmt das so?

[Spurius]

Ich komm da bei dir nicht ganz mit, was sagst du zu meiner Lösung?

[user529]

wenn du zwei allgemeine geraden mit einem bekannten winkel schneidest bekommst du unendlich viele punkte.
du musst aus den bekannten winkeln mit hilfe des sinussatzes die drei längen (ABC = Baken S = standpunkt; winkel zwischen strecken: sasb = winkel zwischen SA und SB)

wenn der bot ausserhalb des von den baken aufgespannten dreieckes steht:

auf den normalabstand zwischen S und AC kannst du nun mit zwei sinusfunktionen (winkel asac und csac) und der winkelsumme gleichsetzen. aus winkelsumme, normalabstand und dem winkel asac kannst du nun die position berechnen.

mfg clemens

ps: glaubst du dass dir jemand eine skizze macht und alles vorkaut wenn du nur lang genug wartest?

[Spurius]

Um Sinus zu verwenden, brauche ich mindestens 2 bekannte Längen oder 2 bekannte Winkel, und weder das eine noch das andere habe ich. wenn ihr eine Skizze wollt, kann ich die natürlich hochladen, ich habe wie gesagt schon ein Programm dafür geschrieben. Von vorkauen war nie die Rede junger Freund.

[user529]

du hast drei bekannte winkel und drei bekannte längen.

über die winkelsummen kannst du dei beiden daraus entstehenden ansätze gleichsetzen und den normalabstand ausrechnen.

[oberallgeier]

Hei Spurius,

tut mir leid, dass ich so unverständlich war.

... was sagst du zu meiner Lösung?

Ganz einfach, dasselbe wie Du - Du musst ne Fallunterscheidung machen. Das erspare ich mir schon im Ansatz:

Ich komm da bei dir nicht ganz mit ...

Aber klar, das ist doch etwas das Du, das wir alle, gelernt hatten. Na ja, vielleicht nicht gelernt aber gehabt (bist in Mathe/Geo beim Billard gewesen? Ich wars in Geographie...).

L1) Sei AB 10 und BC 5 (cm, Parsec, Werst oder sonst eine Längeneinheit).
L2) Sei der Winkel zwischen AB und BC 145°. Denk dran - ALLES hier im mathematisch positiven Sinn . . . . . . !
L3) Ich sehe AB unter dem Winkel 45 °.
L4) Ich sehe BC unter dem Winkel 30 °.

Lösungsweg: Der Peripheriewinkel ist halb so gross wie der Zentriwinkel.

Lösung:
..............................Bild hier  
L5) Konstruiere ein Dreick auf AB, dessen Schenkel ein gleichseitiges Dreieck mit einem Winkel 2*45 Grad bilden => das ist der Zentriwinkel.
L6) Konstruiere einen Kreisabschnitt um dieses Dreieck, dessen Anfang bei A und dessen Ende bei B ist => k1.
L7) Konstruiere ein Dreick auf BC, dessen Schenkel ein gleichseitiges Dreieck mit einem Winkel 2*30 Grad bilden => das ist der zweite Zentriwinkel.
L6) Konstruiere einen Kreisabschnitt um dieses Dreieck, dessen Anfang bei B und dessen Ende bei C ist => k2.
L7) Der Schnittpunkt der beiden Kreisabschnitte ist die eigene Postion im Maßstab der Baken. Die hat als Peripheriewinkel von k1 nach AB 45° und als Peripheriewinkel von k2 nach BC 30° - und bildet so die Wirklichkeit exakt ab (! Geometrie der Ebene ! - also keine Baken hinterm Horizont nehmen *ggg*).

Ist das so verständlich?

PS: die analytische Lösung schreib ich jetzt aber nicht auf - dazu bin ich zu schreibfaul.
PPS: Zu Lösungsweg: für den Sonderfall, dass der Zentriwinkel 180° ist kennste das als Satz von Thales. Bei dem sind nämlich die Peripheriewinkel 90°. Siehste - Du kennst es DOCH!
PPS: Das erläuternde Bild wird in zwei Tagen oder so gelöscht. >> Entfällt wegen gelegentlichem Interesse am Thema.
PPPS: Die Lösung hat natürlich (wie alle zu diesem Problem) eine Singularität oder zwei: wenn eine der Strecken oder beide unter dem Winkel Null gesehen wird/werden . . . . .

wenn du zwei allgemeine geraden mit einem bekannten winkel schneidest bekommst du unendlich viele punkte.

? ? ? ? Wie geht denn das in der Geometrie der Ebene?